Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75776 / 34816
↖ ↑ ↗
← N 64.168107°
E 28.125000°		 ← 133.08 m → N 64.168107°
E 28.127747°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
N 64.166910°
E 28.125000°		 ← 133.09 m →
17 713 m²		 N 64.166910°
E 28.127747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578128814697266 y=0.265628814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578128814697266 × 217)
    floor (0.578128814697266 × 131072)
    floor (75776.5)     		tx = 75776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265628814697266 × 217)
    floor (0.265628814697266 × 131072)
    floor (34816.5)     		ty = 34816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75776 / 34816 ti = "17/75776/34816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75776/34816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75776 ÷ 217
    75776 ÷ 131072     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34816 ÷ 217
    34816 ÷ 131072     		y = 0.265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265625 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47262155632813))-π/2
    2×atan(4.36065186422221)-π/2
    2×1.3453705334591-π/2
    2.69074106691819-1.57079632675     		φ = 1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75776 KachelY 34816 0.49087385 1.11994474 28.125000 64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 75777 KachelY 34816 0.49092179 1.11994474 28.127747 64.168107
    Unten links KachelX 75776 KachelY + 1 34817 0.49087385 1.11992385 28.125000 64.166910
    Unten rechts KachelX + 1 75777 KachelY + 1 34817 0.49092179 1.11992385 28.127747 64.166910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11994474-1.11992385) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11994474-1.11992385) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.49092179) × cos(1.11994474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 133.083825094959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.49092179) × cos(1.11992385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.435750987662095 × 6371000     		du = 133.089567862493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11994474)-sin(1.11992385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.435750987662095)×R²
    abs(0.49092179-0.49087385)×1.88025001882641e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88025001882641e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88025001882641e-05×40589641000000     		ar = 17712.533721469m²