Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7935 / 5889
↖ ↑ ↗
← N 45.073521°
W  5.646973°		 ← 1 725.44 m → N 45.073521°
W  5.625000°		 →
↑
1 725.65 m
↓
↑
1 725.65 m
↓
N 45.058001°
W  5.646973°		 ← 1 725.91 m →
2 977 909 m²		 N 45.058001°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484344482421875 y=0.359466552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484344482421875 × 214)
    floor (0.484344482421875 × 16384)
    floor (7935.5)     		tx = 7935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359466552734375 × 214)
    floor (0.359466552734375 × 16384)
    floor (5889.5)     		ty = 5889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7935 / 5889 ti = "14/7935/5889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7935/5889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7935 ÷ 214
    7935 ÷ 16384     		x = 0.48431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5889 ÷ 214
    5889 ÷ 16384     		y = 0.35943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09855827} λ = -0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883189438599915))-π/2
    2×atan(2.4186013985096)-π/2
    2×1.17873883341483-π/2
    2.35747766682967-1.57079632675     		φ = 0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7935 KachelY 5889 -0.09855827 0.78668134 -5.646973 45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 7936 KachelY 5889 -0.09817477 0.78668134 -5.625000 45.073521
    Unten links KachelX 7935 KachelY + 1 5890 -0.09855827 0.78641048 -5.646973 45.058001
    Unten rechts KachelX + 1 7936 KachelY + 1 5890 -0.09817477 0.78641048 -5.625000 45.058001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78668134-0.78641048) × R
    0.000270859999999984 × 6371000     		dl = 1725.6490599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78668134-0.78641048) × R
    0.000270859999999984 × 6371000     		dr = 1725.6490599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09855827--0.09817477) × cos(0.78668134) × R
    0.000383500000000009 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 1725.44048261054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09855827--0.09817477) × cos(0.78641048) × R
    0.000383500000000009 × 0.706390603058289 × 6371000     		du = 1725.90897305439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78668134)-sin(0.78641048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706390603058289)×R²
    abs(-0.09817477--0.09855827)×0.000191746640364254×R²
    0.000383500000000009×0.000191746640364254×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191746640364254×40589641000000     		ar = 2977908.99015615m²