Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
5 / 8 / 24
↖ ↑ ↗
← S 66.513260°
W 90.000000°		 ← 498.547 km → S 66.513260°
W 78.750000°		 →
↑
455.827 km
↓
↑
455.827 km
↓
S 70.612614°
W 90.000000°		 ← 415.255 km →
208 357 km²		 S 70.612614°
W 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265625 y=0.765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265625 × 25)
    floor (0.265625 × 32)
    floor (8.5)     		tx = 8
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765625 × 25)
    floor (0.765625 × 32)
    floor (24.5)     		ty = 24
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 8 / 24 ti = "5/8/24"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/8/24.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8 ÷ 25
    8 ÷ 32     		x = 0.25
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24 ÷ 25
    24 ÷ 32     		y = 0.75
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Λ = -1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Φ = -1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57079633} λ = -1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57079632675))-π/2
    2×atan(0.207879576360095)-π/2
    2×0.204960467921993-π/2
    0.409920935843985-1.57079632675     		φ = -1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8 KachelY 24 -1.57079633 -1.16087539 -90.000000 -66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 9 KachelY 24 -1.37444679 -1.16087539 -78.750000 -66.513260
    Unten links KachelX 8 KachelY + 1 25 -1.57079633 -1.23242261 -90.000000 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 9 KachelY + 1 25 -1.37444679 -1.23242261 -78.750000 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16087539--1.23242261) × R
    0.07154722 × 6371000     		dl = 455827.33862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16087539--1.23242261) × R
    0.07154722 × 6371000     		dr = 455827.33862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57079633--1.37444679) × cos(-1.16087539) × R
    0.19634954 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 498546.808355383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57079633--1.37444679) × cos(-1.23242261) × R
    0.19634954 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 415254.837511342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16087539)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.331953465734817)×R²
    abs(-1.37444679--1.57079633)×0.0665833504921113×R²
    0.19634954×0.0665833504921113×6371000²
    0.19634954×0.0665833504921113×40589641000000     		ar = 208356775324.185m²