Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8000 / 5952
↖ ↑ ↗
← N 44.087585°
W  4.218750°		 ← 1 754.95 m → N 44.087585°
W  4.196777°		 →
↑
1 755.15 m
↓
↑
1 755.15 m
↓
N 44.071801°
W  4.218750°		 ← 1 755.42 m →
3 080 607 m²		 N 44.071801°
W  4.196777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488311767578125 y=0.363311767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488311767578125 × 214)
    floor (0.488311767578125 × 16384)
    floor (8000.5)     		tx = 8000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363311767578125 × 214)
    floor (0.363311767578125 × 16384)
    floor (5952.5)     		ty = 5952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8000 / 5952 ti = "14/8000/5952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8000/5952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8000 ÷ 214
    8000 ÷ 16384     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5952 ÷ 214
    5952 ÷ 16384     		y = 0.36328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36328125 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859029241191406))-π/2
    2×atan(2.36086774777506)-π/2
    2×1.17013492238655-π/2
    2.3402698447731-1.57079632675     		φ = 0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8000 KachelY 5952 -0.07363108 0.76947352 -4.218750 44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 8001 KachelY 5952 -0.07324758 0.76947352 -4.196777 44.087585
    Unten links KachelX 8000 KachelY + 1 5953 -0.07363108 0.76919803 -4.218750 44.071801
    Unten rechts KachelX + 1 8001 KachelY + 1 5953 -0.07324758 0.76919803 -4.196777 44.071801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76947352-0.76919803) × R
    0.000275490000000045 × 6371000     		dl = 1755.14679000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76947352-0.76919803) × R
    0.000275490000000045 × 6371000     		dr = 1755.14679000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07324758) × cos(0.76947352) × R
    0.000383499999999995 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 1754.95092554272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07324758) × cos(0.76919803) × R
    0.000383499999999995 × 0.7184687182642 × 6371000     		du = 1755.41917225745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76947352)-sin(0.76919803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.7184687182642)×R²
    abs(-0.07324758--0.07363108)×0.000191646885419727×R²
    0.000383499999999995×0.000191646885419727×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191646885419727×40589641000000     		ar = 3080607.42391739m²