Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8488 / 5463
↖ ↑ ↗
← N 51.303145°
E  6.503906°		 ← 1 527.50 m → N 51.303145°
E  6.525879°		 →
↑
1 527.77 m
↓
↑
1 527.77 m
↓
N 51.289406°
E  6.503906°		 ← 1 527.95 m →
2 334 008 m²		 N 51.289406°
E  6.525879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518096923828125 y=0.333465576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518096923828125 × 214)
    floor (0.518096923828125 × 16384)
    floor (8488.5)     		tx = 8488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333465576171875 × 214)
    floor (0.333465576171875 × 16384)
    floor (5463.5)     		ty = 5463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8488 / 5463 ti = "14/8488/5463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8488/5463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8488 ÷ 214
    8488 ÷ 16384     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5463 ÷ 214
    5463 ÷ 16384     		y = 0.33343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33343505859375 × 2 - 1) × π
    0.3331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04655839250507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04655839250507))-π/2
    2×atan(2.84783310911484)-π/2
    2×1.23310256408907-π/2
    2.46620512817814-1.57079632675     		φ = 0.89540880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89540880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.303145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8488 KachelY 5463 0.11351458 0.89540880 6.503906 51.303145
    Oben rechts KachelX + 1 8489 KachelY 5463 0.11389807 0.89540880 6.525879 51.303145
    Unten links KachelX 8488 KachelY + 1 5464 0.11351458 0.89516900 6.503906 51.289406
    Unten rechts KachelX + 1 8489 KachelY + 1 5464 0.11389807 0.89516900 6.525879 51.289406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89540880-0.89516900) × R
    0.000239800000000012 × 6371000     		dl = 1527.76580000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89540880-0.89516900) × R
    0.000239800000000012 × 6371000     		dr = 1527.76580000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11389807) × cos(0.89540880) × R
    0.00038349 × 0.625199814660046 × 6371000     		do = 1527.49743388269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11389807) × cos(0.89516900) × R
    0.00038349 × 0.625386952124284 × 6371000     		du = 1527.95465090307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89540880)-sin(0.89516900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625199814660046-0.625386952124284)×R²
    abs(0.11389807-0.11351458)×0.000187137464238041×R²
    0.00038349×0.000187137464238041×6371000²
    0.00038349×0.000187137464238041×40589641000000     		ar = 2334007.61052194m²