Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8488 / 5464
↖ ↑ ↗
← N 51.289406°
E  6.503906°		 ← 1 527.95 m → N 51.289406°
E  6.525879°		 →
↑
1 528.15 m
↓
↑
1 528.15 m
↓
N 51.275663°
E  6.503906°		 ← 1 528.41 m →
2 335 290 m²		 N 51.275663°
E  6.525879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518096923828125 y=0.333526611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518096923828125 × 214)
    floor (0.518096923828125 × 16384)
    floor (8488.5)     		tx = 8488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333526611328125 × 214)
    floor (0.333526611328125 × 16384)
    floor (5464.5)     		ty = 5464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8488 / 5464 ti = "14/8488/5464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8488/5464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8488 ÷ 214
    8488 ÷ 16384     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5464 ÷ 214
    5464 ÷ 16384     		y = 0.33349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33349609375 × 2 - 1) × π
    0.3330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04617489730811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04617489730811))-π/2
    2×atan(2.84674118818235)-π/2
    2×1.23298266558521-π/2
    2.46596533117042-1.57079632675     		φ = 0.89516900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89516900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.289406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8488 KachelY 5464 0.11351458 0.89516900 6.503906 51.289406
    Oben rechts KachelX + 1 8489 KachelY 5464 0.11389807 0.89516900 6.525879 51.289406
    Unten links KachelX 8488 KachelY + 1 5465 0.11351458 0.89492914 6.503906 51.275663
    Unten rechts KachelX + 1 8489 KachelY + 1 5465 0.11389807 0.89492914 6.525879 51.275663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89516900-0.89492914) × R
    0.000239859999999981 × 6371000     		dl = 1528.14805999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89516900-0.89492914) × R
    0.000239859999999981 × 6371000     		dr = 1528.14805999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11389807) × cos(0.89516900) × R
    0.00038349 × 0.625386952124284 × 6371000     		do = 1527.95465090307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11389807) × cos(0.89492914) × R
    0.00038349 × 0.625574100436133 × 6371000     		du = 1528.41189442651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89516900)-sin(0.89492914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625386952124284-0.625574100436133)×R²
    abs(0.11389807-0.11351458)×0.000187148311848406×R²
    0.00038349×0.000187148311848406×6371000²
    0.00038349×0.000187148311848406×40589641000000     		ar = 2335290.31464268m²