Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8496 / 5520
↖ ↑ ↗
← N 50.513427°
E  6.679688°		 ← 1 553.67 m → N 50.513427°
E  6.701660°		 →
↑
1 553.89 m
↓
↑
1 553.89 m
↓
N 50.499452°
E  6.679688°		 ← 1 554.13 m →
2 414 592 m²		 N 50.499452°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518585205078125 y=0.336944580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518585205078125 × 214)
    floor (0.518585205078125 × 16384)
    floor (8496.5)     		tx = 8496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336944580078125 × 214)
    floor (0.336944580078125 × 16384)
    floor (5520.5)     		ty = 5520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8496 / 5520 ti = "14/8496/5520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8496/5520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8496 ÷ 214
    8496 ÷ 16384     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5520 ÷ 214
    5520 ÷ 16384     		y = 0.3369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3369140625 × 2 - 1) × π
    0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02469916627832))-π/2
    2×atan(2.78625713437049)-π/2
    2×1.22621096806257-π/2
    2.45242193612514-1.57079632675     		φ = 0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8496 KachelY 5520 0.11658254 0.88162561 6.679688 50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 8497 KachelY 5520 0.11696604 0.88162561 6.701660 50.513427
    Unten links KachelX 8496 KachelY + 1 5521 0.11658254 0.88138171 6.679688 50.499452
    Unten rechts KachelX + 1 8497 KachelY + 1 5521 0.11696604 0.88138171 6.701660 50.499452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88162561-0.88138171) × R
    0.000243899999999964 × 6371000     		dl = 1553.88689999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88162561-0.88138171) × R
    0.000243899999999964 × 6371000     		dr = 1553.88689999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.88162561) × R
    0.000383499999999995 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 1553.67440177234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.88138171) × R
    0.000383499999999995 × 0.636085598721362 × 6371000     		du = 1554.13426751551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88162561)-sin(0.88138171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.636085598721362)×R²
    abs(0.11696604-0.11658254)×0.000188216670008789×R²
    0.000383499999999995×0.000188216670008789×6371000²
    0.000383499999999995×0.000188216670008789×40589641000000     		ar = 2414591.60142548m²