Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8501 / 5467
↖ ↑ ↗
← N 51.248163°
E  6.789551°		 ← 1 529.33 m → N 51.248163°
E  6.811523°		 →
↑
1 529.55 m
↓
↑
1 529.55 m
↓
N 51.234407°
E  6.789551°		 ← 1 529.78 m →
2 339 531 m²		 N 51.234407°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518890380859375 y=0.333709716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518890380859375 × 214)
    floor (0.518890380859375 × 16384)
    floor (8501.5)     		tx = 8501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333709716796875 × 214)
    floor (0.333709716796875 × 16384)
    floor (5467.5)     		ty = 5467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8501 / 5467 ti = "14/8501/5467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8501/5467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8501 ÷ 214
    8501 ÷ 16384     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5467 ÷ 214
    5467 ÷ 16384     		y = 0.33367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33367919921875 × 2 - 1) × π
    0.3326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04502441171722))-π/2
    2×atan(2.84346793673973)-π/2
    2×1.23262275475049-π/2
    2.46524550950098-1.57079632675     		φ = 0.89444918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89444918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.248163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8501 KachelY 5467 0.11850002 0.89444918 6.789551 51.248163
    Oben rechts KachelX + 1 8502 KachelY 5467 0.11888351 0.89444918 6.811523 51.248163
    Unten links KachelX 8501 KachelY + 1 5468 0.11850002 0.89420910 6.789551 51.234407
    Unten rechts KachelX + 1 8502 KachelY + 1 5468 0.11888351 0.89420910 6.811523 51.234407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89444918-0.89420910) × R
    0.000240079999999976 × 6371000     		dl = 1529.54967999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89444918-0.89420910) × R
    0.000240079999999976 × 6371000     		dr = 1529.54967999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11888351) × cos(0.89444918) × R
    0.00038349 × 0.625948476243417 × 6371000     		do = 1529.32657493588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11888351) × cos(0.89420910) × R
    0.00038349 × 0.626135688050928 × 6371000     		du = 1529.78397359286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89444918)-sin(0.89420910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625948476243417-0.626135688050928)×R²
    abs(0.11888351-0.11850002)×0.000187211807511356×R²
    0.00038349×0.000187211807511356×6371000²
    0.00038349×0.000187211807511356×40589641000000     		ar = 2339530.79153034m²