Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8502 / 5466
↖ ↑ ↗
← N 51.261915°
E  6.811523°		 ← 1 528.91 m → N 51.261915°
E  6.833496°		 →
↑
1 529.17 m
↓
↑
1 529.17 m
↓
N 51.248163°
E  6.811523°		 ← 1 529.37 m →
2 338 308 m²		 N 51.248163°
E  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518951416015625 y=0.333648681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518951416015625 × 214)
    floor (0.518951416015625 × 16384)
    floor (8502.5)     		tx = 8502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333648681640625 × 214)
    floor (0.333648681640625 × 16384)
    floor (5466.5)     		ty = 5466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8502 / 5466 ti = "14/8502/5466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8502/5466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8502 ÷ 214
    8502 ÷ 16384     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5466 ÷ 214
    5466 ÷ 16384     		y = 0.3336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3336181640625 × 2 - 1) × π
    0.332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04540790691418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04540790691418))-π/2
    2×atan(2.84455860215528)-π/2
    2×1.23274276091975-π/2
    2.46548552183951-1.57079632675     		φ = 0.89468920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89468920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.261915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8502 KachelY 5466 0.11888351 0.89468920 6.811523 51.261915
    Oben rechts KachelX + 1 8503 KachelY 5466 0.11926701 0.89468920 6.833496 51.261915
    Unten links KachelX 8502 KachelY + 1 5467 0.11888351 0.89444918 6.811523 51.248163
    Unten rechts KachelX + 1 8503 KachelY + 1 5467 0.11926701 0.89444918 6.833496 51.248163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89468920-0.89444918) × R
    0.000240020000000007 × 6371000     		dl = 1529.16742000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89468920-0.89444918) × R
    0.000240020000000007 × 6371000     		dr = 1529.16742000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11926701) × cos(0.89468920) × R
    0.000383500000000009 × 0.625761275158112 × 6371000     		do = 1528.90906972643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11926701) × cos(0.89444918) × R
    0.000383500000000009 × 0.625948476243417 × 6371000     		du = 1529.36645411334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89468920)-sin(0.89444918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625761275158112-0.625948476243417)×R²
    abs(0.11926701-0.11888351)×0.0001872010853049×R²
    0.000383500000000009×0.0001872010853049×6371000²
    0.000383500000000009×0.0001872010853049×40589641000000     		ar = 2338307.65744504m²