Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8502 / 5478
↖ ↑ ↗
← N 51.096623°
E  6.811523°		 ← 1 534.40 m → N 51.096623°
E  6.833496°		 →
↑
1 534.65 m
↓
↑
1 534.65 m
↓
N 51.082822°
E  6.811523°		 ← 1 534.86 m →
2 355 114 m²		 N 51.082822°
E  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518951416015625 y=0.334381103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518951416015625 × 214)
    floor (0.518951416015625 × 16384)
    floor (8502.5)     		tx = 8502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334381103515625 × 214)
    floor (0.334381103515625 × 16384)
    floor (5478.5)     		ty = 5478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8502 / 5478 ti = "14/8502/5478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8502/5478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8502 ÷ 214
    8502 ÷ 16384     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5478 ÷ 214
    5478 ÷ 16384     		y = 0.3343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3343505859375 × 2 - 1) × π
    0.331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04080596455066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04080596455066))-π/2
    2×atan(2.83149818211794)-π/2
    2×1.23130031690853-π/2
    2.46260063381707-1.57079632675     		φ = 0.89180431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89180431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.096623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8502 KachelY 5478 0.11888351 0.89180431 6.811523 51.096623
    Oben rechts KachelX + 1 8503 KachelY 5478 0.11926701 0.89180431 6.833496 51.096623
    Unten links KachelX 8502 KachelY + 1 5479 0.11888351 0.89156343 6.811523 51.082822
    Unten rechts KachelX + 1 8503 KachelY + 1 5479 0.11926701 0.89156343 6.833496 51.082822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89180431-0.89156343) × R
    0.000240879999999999 × 6371000     		dl = 1534.64647999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89180431-0.89156343) × R
    0.000240879999999999 × 6371000     		dr = 1534.64647999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11926701) × cos(0.89180431) × R
    0.000383500000000009 × 0.628008924473639 × 6371000     		do = 1534.4007029746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11926701) × cos(0.89156343) × R
    0.000383500000000009 × 0.628196360546435 × 6371000     		du = 1534.85866150139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89180431)-sin(0.89156343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628008924473639-0.628196360546435)×R²
    abs(0.11926701-0.11888351)×0.000187436072795477×R²
    0.000383500000000009×0.000187436072795477×6371000²
    0.000383500000000009×0.000187436072795477×40589641000000     		ar = 2355114.0513384m²