Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8503 / 5497
↖ ↑ ↗
← N 50.833698°
E  6.833496°		 ← 1 543.07 m → N 50.833698°
E  6.855469°		 →
↑
1 543.37 m
↓
↑
1 543.37 m
↓
N 50.819818°
E  6.833496°		 ← 1 543.53 m →
2 381 889 m²		 N 50.819818°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519012451171875 y=0.335540771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519012451171875 × 214)
    floor (0.519012451171875 × 16384)
    floor (8503.5)     		tx = 8503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335540771484375 × 214)
    floor (0.335540771484375 × 16384)
    floor (5497.5)     		ty = 5497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8503 / 5497 ti = "14/8503/5497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8503/5497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8503 ÷ 214
    8503 ÷ 16384     		x = 0.51898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5497 ÷ 214
    5497 ÷ 16384     		y = 0.33551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51898193359375 × 2 - 1) × π
    0.0379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11926701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33551025390625 × 2 - 1) × π
    0.3289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03351955580841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11926701} λ = 0.11926701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03351955580841))-π/2
    2×atan(2.81094171138231)-π/2
    2×1.22900586104911-π/2
    2.45801172209823-1.57079632675     		φ = 0.88721540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11926701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88721540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.833698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8503 KachelY 5497 0.11926701 0.88721540 6.833496 50.833698
    Oben rechts KachelX + 1 8504 KachelY 5497 0.11965050 0.88721540 6.855469 50.833698
    Unten links KachelX 8503 KachelY + 1 5498 0.11926701 0.88697315 6.833496 50.819818
    Unten rechts KachelX + 1 8504 KachelY + 1 5498 0.11965050 0.88697315 6.855469 50.819818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88721540-0.88697315) × R
    0.000242249999999999 × 6371000     		dl = 1543.37475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88721540-0.88697315) × R
    0.000242249999999999 × 6371000     		dr = 1543.37475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11926701-0.11965050) × cos(0.88721540) × R
    0.00038349 × 0.631573417537511 × 6371000     		do = 1543.06951469849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11926701-0.11965050) × cos(0.88697315) × R
    0.00038349 × 0.631761219323209 × 6371000     		du = 1543.5283547989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88721540)-sin(0.88697315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631573417537511-0.631761219323209)×R²
    abs(0.11965050-0.11926701)×0.000187801785698105×R²
    0.00038349×0.000187801785698105×6371000²
    0.00038349×0.000187801785698105×40589641000000     		ar = 2381888.61924241m²