Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8507 / 5485
↖ ↑ ↗
← N 50.999929°
E  6.921387°		 ← 1 537.57 m → N 50.999929°
E  6.943359°		 →
↑
1 537.83 m
↓
↑
1 537.83 m
↓
N 50.986099°
E  6.921387°		 ← 1 538.03 m →
2 364 872 m²		 N 50.986099°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519256591796875 y=0.334808349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519256591796875 × 214)
    floor (0.519256591796875 × 16384)
    floor (8507.5)     		tx = 8507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334808349609375 × 214)
    floor (0.334808349609375 × 16384)
    floor (5485.5)     		ty = 5485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8507 / 5485 ti = "14/8507/5485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8507/5485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8507 ÷ 214
    8507 ÷ 16384     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5485 ÷ 214
    5485 ÷ 16384     		y = 0.33477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33477783203125 × 2 - 1) × π
    0.3304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03812149817194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03812149817194))-π/2
    2×atan(2.82390731372067)-π/2
    2×1.23045650179692-π/2
    2.46091300359384-1.57079632675     		φ = 0.89011668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89011668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.999929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8507 KachelY 5485 0.12080099 0.89011668 6.921387 50.999929
    Oben rechts KachelX + 1 8508 KachelY 5485 0.12118448 0.89011668 6.943359 50.999929
    Unten links KachelX 8507 KachelY + 1 5486 0.12080099 0.88987530 6.921387 50.986099
    Unten rechts KachelX + 1 8508 KachelY + 1 5486 0.12118448 0.88987530 6.943359 50.986099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89011668-0.88987530) × R
    0.000241379999999958 × 6371000     		dl = 1537.83197999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89011668-0.88987530) × R
    0.000241379999999958 × 6371000     		dr = 1537.83197999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12118448) × cos(0.89011668) × R
    0.00038349 × 0.629321353557924 × 6371000     		do = 1537.56723867554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12118448) × cos(0.88987530) × R
    0.00038349 × 0.629508922526655 × 6371000     		du = 1538.02550995409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89011668)-sin(0.88987530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629321353557924-0.629508922526655)×R²
    abs(0.12118448-0.12080099)×0.000187568968731955×R²
    0.00038349×0.000187568968731955×6371000²
    0.00038349×0.000187568968731955×40589641000000     		ar = 2364872.45463236m²