Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8520 / 5496
↖ ↑ ↗
← N 50.847573°
E  7.207031°		 ← 1 542.65 m → N 50.847573°
E  7.229004°		 →
↑
1 542.80 m
↓
↑
1 542.80 m
↓
N 50.833698°
E  7.207031°		 ← 1 543.11 m →
2 380 358 m²		 N 50.833698°
E  7.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520050048828125 y=0.335479736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520050048828125 × 214)
    floor (0.520050048828125 × 16384)
    floor (8520.5)     		tx = 8520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335479736328125 × 214)
    floor (0.335479736328125 × 16384)
    floor (5496.5)     		ty = 5496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8520 / 5496 ti = "14/8520/5496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8520/5496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8520 ÷ 214
    8520 ÷ 16384     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5496 ÷ 214
    5496 ÷ 16384     		y = 0.33544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33544921875 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03390305100537))-π/2
    2×atan(2.81201990075457)-π/2
    2×1.22912694573276-π/2
    2.45825389146552-1.57079632675     		φ = 0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8520 KachelY 5496 0.12578642 0.88745756 7.207031 50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 8521 KachelY 5496 0.12616992 0.88745756 7.229004 50.847573
    Unten links KachelX 8520 KachelY + 1 5497 0.12578642 0.88721540 7.207031 50.833698
    Unten rechts KachelX + 1 8521 KachelY + 1 5497 0.12616992 0.88721540 7.229004 50.833698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88745756-0.88721540) × R
    0.000242159999999991 × 6371000     		dl = 1542.80135999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88745756-0.88721540) × R
    0.000242159999999991 × 6371000     		dr = 1542.80135999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12616992) × cos(0.88745756) × R
    0.000383499999999981 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 1542.65098013991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12616992) × cos(0.88721540) × R
    0.000383499999999981 × 0.631573417537511 × 6371000     		du = 1543.10975224085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88745756)-sin(0.88721540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.631573417537511)×R²
    abs(0.12616992-0.12578642)×0.000187769057411358×R²
    0.000383499999999981×0.000187769057411358×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187769057411358×40589641000000     		ar = 2380357.93890803m²