Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8521 / 5495
↖ ↑ ↗
← N 50.861444°
E  7.229004°		 ← 1 542.15 m → N 50.861444°
E  7.250976°		 →
↑
1 542.42 m
↓
↑
1 542.42 m
↓
N 50.847573°
E  7.229004°		 ← 1 542.61 m →
2 378 999 m²		 N 50.847573°
E  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520111083984375 y=0.335418701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520111083984375 × 214)
    floor (0.520111083984375 × 16384)
    floor (8521.5)     		tx = 8521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335418701171875 × 214)
    floor (0.335418701171875 × 16384)
    floor (5495.5)     		ty = 5495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8521 / 5495 ti = "14/8521/5495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8521/5495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8521 ÷ 214
    8521 ÷ 16384     		x = 0.52008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5495 ÷ 214
    5495 ÷ 16384     		y = 0.33538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52008056640625 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33538818359375 × 2 - 1) × π
    0.3292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03428654620233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12616992} λ = 0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03428654620233))-π/2
    2×atan(2.81309850368657)-π/2
    2×1.22924799441255-π/2
    2.4584959888251-1.57079632675     		φ = 0.88769966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88769966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.861444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8521 KachelY 5495 0.12616992 0.88769966 7.229004 50.861444
    Oben rechts KachelX + 1 8522 KachelY 5495 0.12655341 0.88769966 7.250976 50.861444
    Unten links KachelX 8521 KachelY + 1 5496 0.12616992 0.88745756 7.229004 50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 8522 KachelY + 1 5496 0.12655341 0.88745756 7.250976 50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88769966-0.88745756) × R
    0.000242100000000023 × 6371000     		dl = 1542.41910000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88769966-0.88745756) × R
    0.000242100000000023 × 6371000     		dr = 1542.41910000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12616992-0.12655341) × cos(0.88769966) × R
    0.000383490000000014 × 0.63119788893462 × 6371000     		do = 1542.1520176619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12616992-0.12655341) × cos(0.88745756) × R
    0.000383490000000014 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 1542.61075456038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88769966)-sin(0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63119788893462-0.6313856484801)×R²
    abs(0.12655341-0.12616992)×0.000187759545479893×R²
    0.000383490000000014×0.000187759545479893×6371000²
    0.000383490000000014×0.000187759545479893×40589641000000     		ar = 2378998.5210421m²