Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8524 / 5452
↖ ↑ ↗
← N 51.454007°
E  7.294922°		 ← 1 522.47 m → N 51.454007°
E  7.316894°		 →
↑
1 522.67 m
↓
↑
1 522.67 m
↓
N 51.440313°
E  7.294922°		 ← 1 522.93 m →
2 318 568 m²		 N 51.440313°
E  7.316894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520294189453125 y=0.332794189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520294189453125 × 214)
    floor (0.520294189453125 × 16384)
    floor (8524.5)     		tx = 8524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332794189453125 × 214)
    floor (0.332794189453125 × 16384)
    floor (5452.5)     		ty = 5452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8524 / 5452 ti = "14/8524/5452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8524/5452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8524 ÷ 214
    8524 ÷ 16384     		x = 0.520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5452 ÷ 214
    5452 ÷ 16384     		y = 0.332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520263671875 × 2 - 1) × π
    0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332763671875 × 2 - 1) × π
    0.33447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05077683967163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12732041} λ = 0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05077683967163))-π/2
    2×atan(2.85987191731015)-π/2
    2×1.23441908035032-π/2
    2.46883816070064-1.57079632675     		φ = 0.89804183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89804183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.454007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8524 KachelY 5452 0.12732041 0.89804183 7.294922 51.454007
    Oben rechts KachelX + 1 8525 KachelY 5452 0.12770390 0.89804183 7.316894 51.454007
    Unten links KachelX 8524 KachelY + 1 5453 0.12732041 0.89780283 7.294922 51.440313
    Unten rechts KachelX + 1 8525 KachelY + 1 5453 0.12770390 0.89780283 7.316894 51.440313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89804183-0.89780283) × R
    0.000238999999999989 × 6371000     		dl = 1522.66899999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89804183-0.89780283) × R
    0.000238999999999989 × 6371000     		dr = 1522.66899999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12732041-0.12770390) × cos(0.89804183) × R
    0.000383490000000014 × 0.62314266278553 × 6371000     		do = 1522.47136999764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12732041-0.12770390) × cos(0.89780283) × R
    0.000383490000000014 × 0.623329568844039 × 6371000     		du = 1522.92802164414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89804183)-sin(0.89780283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62314266278553-0.623329568844039)×R²
    abs(0.12770390-0.12732041)×0.000186906058509906×R²
    0.000383490000000014×0.000186906058509906×6371000²
    0.000383490000000014×0.000186906058509906×40589641000000     		ar = 2318567.63417387m²