Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8526 / 5454
↖ ↑ ↗
← N 51.426615°
E  7.338867°		 ← 1 523.38 m → N 51.426615°
E  7.360840°		 →
↑
1 523.69 m
↓
↑
1 523.69 m
↓
N 51.412912°
E  7.338867°		 ← 1 523.84 m →
2 321 512 m²		 N 51.412912°
E  7.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520416259765625 y=0.332916259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520416259765625 × 214)
    floor (0.520416259765625 × 16384)
    floor (8526.5)     		tx = 8526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332916259765625 × 214)
    floor (0.332916259765625 × 16384)
    floor (5454.5)     		ty = 5454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8526 / 5454 ti = "14/8526/5454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8526/5454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8526 ÷ 214
    8526 ÷ 16384     		x = 0.5203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5454 ÷ 214
    5454 ÷ 16384     		y = 0.3328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5203857421875 × 2 - 1) × π
    0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3328857421875 × 2 - 1) × π
    0.334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05000984927771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12808740} λ = 0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05000984927771))-π/2
    2×atan(2.85767926400123)-π/2
    2×1.23418003645199-π/2
    2.46836007290399-1.57079632675     		φ = 0.89756375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89756375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.426615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8526 KachelY 5454 0.12808740 0.89756375 7.338867 51.426615
    Oben rechts KachelX + 1 8527 KachelY 5454 0.12847089 0.89756375 7.360840 51.426615
    Unten links KachelX 8526 KachelY + 1 5455 0.12808740 0.89732459 7.338867 51.412912
    Unten rechts KachelX + 1 8527 KachelY + 1 5455 0.12847089 0.89732459 7.360840 51.412912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89756375-0.89732459) × R
    0.000239160000000016 × 6371000     		dl = 1523.6883600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89756375-0.89732459) × R
    0.000239160000000016 × 6371000     		dr = 1523.6883600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12808740-0.12847089) × cos(0.89756375) × R
    0.000383490000000014 × 0.623516501842158 × 6371000     		do = 1523.38473910988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12808740-0.12847089) × cos(0.89732459) × R
    0.000383490000000014 × 0.62370346173343 × 6371000     		du = 1523.84152228137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89756375)-sin(0.89732459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623516501842158-0.62370346173343)×R²
    abs(0.12847089-0.12808740)×0.000186959891271377×R²
    0.000383490000000014×0.000186959891271377×6371000²
    0.000383490000000014×0.000186959891271377×40589641000000     		ar = 2321511.60344965m²