Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8528 / 5456
↖ ↑ ↗
← N 51.399206°
E  7.382813°		 ← 1 524.30 m → N 51.399206°
E  7.404785°		 →
↑
1 524.52 m
↓
↑
1 524.52 m
↓
N 51.385495°
E  7.382813°		 ← 1 524.76 m →
2 324 166 m²		 N 51.385495°
E  7.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520538330078125 y=0.333038330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520538330078125 × 214)
    floor (0.520538330078125 × 16384)
    floor (8528.5)     		tx = 8528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333038330078125 × 214)
    floor (0.333038330078125 × 16384)
    floor (5456.5)     		ty = 5456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8528 / 5456 ti = "14/8528/5456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8528/5456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8528 ÷ 214
    8528 ÷ 16384     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5456 ÷ 214
    5456 ÷ 16384     		y = 0.3330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3330078125 × 2 - 1) × π
    0.333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04924285888379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04924285888379))-π/2
    2×atan(2.85548829179156)-π/2
    2×1.23394084917019-π/2
    2.46788169834038-1.57079632675     		φ = 0.89708537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89708537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.399206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8528 KachelY 5456 0.12885439 0.89708537 7.382813 51.399206
    Oben rechts KachelX + 1 8529 KachelY 5456 0.12923788 0.89708537 7.404785 51.399206
    Unten links KachelX 8528 KachelY + 1 5457 0.12885439 0.89684608 7.382813 51.385495
    Unten rechts KachelX + 1 8529 KachelY + 1 5457 0.12923788 0.89684608 7.404785 51.385495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89708537-0.89684608) × R
    0.000239290000000003 × 6371000     		dl = 1524.51659000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89708537-0.89684608) × R
    0.000239290000000003 × 6371000     		dr = 1524.51659000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12923788) × cos(0.89708537) × R
    0.000383489999999986 × 0.62389043284113 × 6371000     		do = 1524.2983328569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12923788) × cos(0.89684608) × R
    0.000383489999999986 × 0.624077422941323 × 6371000     		du = 1524.75518983527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89708537)-sin(0.89684608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62389043284113-0.624077422941323)×R²
    abs(0.12923788-0.12885439)×0.000186990100193185×R²
    0.000383489999999986×0.000186990100193185×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186990100193185×40589641000000     		ar = 2324166.35066154m²