Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8529 / 5455
↖ ↑ ↗
← N 51.412912°
E  7.404785°		 ← 1 523.88 m → N 51.412912°
E  7.426758°		 →
↑
1 524.07 m
↓
↑
1 524.07 m
↓
N 51.399206°
E  7.404785°		 ← 1 524.34 m →
2 322 851 m²		 N 51.399206°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520599365234375 y=0.332977294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520599365234375 × 214)
    floor (0.520599365234375 × 16384)
    floor (8529.5)     		tx = 8529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332977294921875 × 214)
    floor (0.332977294921875 × 16384)
    floor (5455.5)     		ty = 5455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8529 / 5455 ti = "14/8529/5455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8529/5455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8529 ÷ 214
    8529 ÷ 16384     		x = 0.52056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5455 ÷ 214
    5455 ÷ 16384     		y = 0.33294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52056884765625 × 2 - 1) × π
    0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33294677734375 × 2 - 1) × π
    0.3341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04962635408075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12923788} λ = 0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04962635408075))-π/2
    2×atan(2.85658356783957)-π/2
    2×1.23406046073598-π/2
    2.46812092147196-1.57079632675     		φ = 0.89732459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89732459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.412912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8529 KachelY 5455 0.12923788 0.89732459 7.404785 51.412912
    Oben rechts KachelX + 1 8530 KachelY 5455 0.12962138 0.89732459 7.426758 51.412912
    Unten links KachelX 8529 KachelY + 1 5456 0.12923788 0.89708537 7.404785 51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 8530 KachelY + 1 5456 0.12962138 0.89708537 7.426758 51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89732459-0.89708537) × R
    0.000239219999999984 × 6371000     		dl = 1524.0706199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89732459-0.89708537) × R
    0.000239219999999984 × 6371000     		dr = 1524.0706199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12923788-0.12962138) × cos(0.89732459) × R
    0.000383500000000009 × 0.62370346173343 × 6371000     		do = 1523.8812584289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12923788-0.12962138) × cos(0.89708537) × R
    0.000383500000000009 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 1524.33808091646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89732459)-sin(0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62370346173343-0.62389043284113)×R²
    abs(0.12962138-0.12923788)×0.000186971107699829×R²
    0.000383500000000009×0.000186971107699829×6371000²
    0.000383500000000009×0.000186971107699829×40589641000000     		ar = 2322850.78028239m²