Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8530 / 5458
↖ ↑ ↗
← N 51.371780°
E  7.426758°		 ← 1 525.21 m → N 51.371780°
E  7.448730°		 →
↑
1 525.47 m
↓
↑
1 525.47 m
↓
N 51.358061°
E  7.426758°		 ← 1 525.67 m →
2 327 017 m²		 N 51.358061°
E  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520660400390625 y=0.333160400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520660400390625 × 214)
    floor (0.520660400390625 × 16384)
    floor (8530.5)     		tx = 8530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333160400390625 × 214)
    floor (0.333160400390625 × 16384)
    floor (5458.5)     		ty = 5458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8530 / 5458 ti = "14/8530/5458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8530/5458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8530 ÷ 214
    8530 ÷ 16384     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5458 ÷ 214
    5458 ÷ 16384     		y = 0.3331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3331298828125 × 2 - 1) × π
    0.333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04847586848987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04847586848987))-π/2
    2×atan(2.85329899939225)-π/2
    2×1.23370151847368-π/2
    2.46740303694736-1.57079632675     		φ = 0.89660671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89660671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.371780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8530 KachelY 5458 0.12962138 0.89660671 7.426758 51.371780
    Oben rechts KachelX + 1 8531 KachelY 5458 0.13000487 0.89660671 7.448730 51.371780
    Unten links KachelX 8530 KachelY + 1 5459 0.12962138 0.89636727 7.426758 51.358061
    Unten rechts KachelX + 1 8531 KachelY + 1 5459 0.13000487 0.89636727 7.448730 51.358061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89660671-0.89636727) × R
    0.00023943999999998 × 6371000     		dl = 1525.47223999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89660671-0.89636727) × R
    0.00023943999999998 × 6371000     		dr = 1525.47223999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.13000487) × cos(0.89660671) × R
    0.000383489999999986 × 0.624264439804078 × 6371000     		do = 1525.21211220033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.13000487) × cos(0.89636727) × R
    0.000383489999999986 × 0.624451475572185 × 6371000     		du = 1525.66908075523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89660671)-sin(0.89636727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624264439804078-0.624451475572185)×R²
    abs(0.13000487-0.12962138)×0.000187035768106969×R²
    0.000383489999999986×0.000187035768106969×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187035768106969×40589641000000     		ar = 2327017.29481343m²