Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8532 / 5428
↖ ↑ ↗
← N 51.781435°
E  7.470703°		 ← 1 511.53 m → N 51.781435°
E  7.492676°		 →
↑
1 511.77 m
↓
↑
1 511.77 m
↓
N 51.767840°
E  7.470703°		 ← 1 511.98 m →
2 285 432 m²		 N 51.767840°
E  7.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520782470703125 y=0.331329345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520782470703125 × 214)
    floor (0.520782470703125 × 16384)
    floor (8532.5)     		tx = 8532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331329345703125 × 214)
    floor (0.331329345703125 × 16384)
    floor (5428.5)     		ty = 5428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8532 / 5428 ti = "14/8532/5428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8532/5428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8532 ÷ 214
    8532 ÷ 16384     		x = 0.520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5428 ÷ 214
    5428 ÷ 16384     		y = 0.331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331298828125 × 2 - 1) × π
    0.33740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05998072439868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13038837} λ = 0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05998072439868))-π/2
    2×atan(2.88631535326772)-π/2
    2×1.23727643474145-π/2
    2.4745528694829-1.57079632675     		φ = 0.90375654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90375654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.781435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8532 KachelY 5428 0.13038837 0.90375654 7.470703 51.781435
    Oben rechts KachelX + 1 8533 KachelY 5428 0.13077186 0.90375654 7.492676 51.781435
    Unten links KachelX 8532 KachelY + 1 5429 0.13038837 0.90351925 7.470703 51.767840
    Unten rechts KachelX + 1 8533 KachelY + 1 5429 0.13077186 0.90351925 7.492676 51.767840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90375654-0.90351925) × R
    0.000237290000000057 × 6371000     		dl = 1511.77459000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90375654-0.90351925) × R
    0.000237290000000057 × 6371000     		dr = 1511.77459000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13038837-0.13077186) × cos(0.90375654) × R
    0.000383489999999986 × 0.618662990374151 × 6371000     		do = 1511.5265681077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13038837-0.13077186) × cos(0.90351925) × R
    0.000383489999999986 × 0.618849401381119 × 6371000     		du = 1511.98201023694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90375654)-sin(0.90351925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618662990374151-0.618849401381119)×R²
    abs(0.13077186-0.13038837)×0.000186411006968479×R²
    0.000383489999999986×0.000186411006968479×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186411006968479×40589641000000     		ar = 2285431.73141835m²