Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8533 / 5461
↖ ↑ ↗
← N 51.330612°
E  7.492676°		 ← 1 526.62 m → N 51.330612°
E  7.514649°		 →
↑
1 526.81 m
↓
↑
1 526.81 m
↓
N 51.316881°
E  7.492676°		 ← 1 527.08 m →
2 331 212 m²		 N 51.316881°
E  7.514649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520843505859375 y=0.333343505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520843505859375 × 214)
    floor (0.520843505859375 × 16384)
    floor (8533.5)     		tx = 8533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333343505859375 × 214)
    floor (0.333343505859375 × 16384)
    floor (5461.5)     		ty = 5461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8533 / 5461 ti = "14/8533/5461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8533/5461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8533 ÷ 214
    8533 ÷ 16384     		x = 0.52081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5461 ÷ 214
    5461 ÷ 16384     		y = 0.33331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52081298828125 × 2 - 1) × π
    0.0416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13077186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33331298828125 × 2 - 1) × π
    0.3333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04732538289899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13077186} λ = 0.13077186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04732538289899))-π/2
    2×atan(2.85001820762068)-π/2
    2×1.23334225345828-π/2
    2.46668450691655-1.57079632675     		φ = 0.89588818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13077186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89588818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.330612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8533 KachelY 5461 0.13077186 0.89588818 7.492676 51.330612
    Oben rechts KachelX + 1 8534 KachelY 5461 0.13115536 0.89588818 7.514649 51.330612
    Unten links KachelX 8533 KachelY + 1 5462 0.13077186 0.89564853 7.492676 51.316881
    Unten rechts KachelX + 1 8534 KachelY + 1 5462 0.13115536 0.89564853 7.514649 51.316881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89588818-0.89564853) × R
    0.000239650000000036 × 6371000     		dl = 1526.81015000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89588818-0.89564853) × R
    0.000239650000000036 × 6371000     		dr = 1526.81015000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13077186-0.13115536) × cos(0.89588818) × R
    0.000383500000000009 × 0.62482560365596 × 6371000     		do = 1526.62296366216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13077186-0.13115536) × cos(0.89564853) × R
    0.000383500000000009 × 0.625012695887316 × 6371000     		du = 1527.08008208855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89588818)-sin(0.89564853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62482560365596-0.625012695887316)×R²
    abs(0.13115536-0.13077186)×0.000187092231356045×R²
    0.000383500000000009×0.000187092231356045×6371000²
    0.000383500000000009×0.000187092231356045×40589641000000     		ar = 2331212.41382602m²