Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8560 / 5424
↖ ↑ ↗
← N 51.835778°
E  8.085937°		 ← 1 509.74 m → N 51.835778°
E  8.107910°		 →
↑
1 509.99 m
↓
↑
1 509.99 m
↓
N 51.822198°
E  8.085937°		 ← 1 510.20 m →
2 280 044 m²		 N 51.822198°
E  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522491455078125 y=0.331085205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522491455078125 × 214)
    floor (0.522491455078125 × 16384)
    floor (8560.5)     		tx = 8560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331085205078125 × 214)
    floor (0.331085205078125 × 16384)
    floor (5424.5)     		ty = 5424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8560 / 5424 ti = "14/8560/5424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8560/5424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8560 ÷ 214
    8560 ÷ 16384     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5424 ÷ 214
    5424 ÷ 16384     		y = 0.3310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06151470518652))-π/2
    2×atan(2.89074630319445)-π/2
    2×1.23775065741965-π/2
    2.47550131483931-1.57079632675     		φ = 0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8560 KachelY 5424 0.14112623 0.90470499 8.085937 51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 8561 KachelY 5424 0.14150973 0.90470499 8.107910 51.835778
    Unten links KachelX 8560 KachelY + 1 5425 0.14112623 0.90446798 8.085937 51.822198
    Unten rechts KachelX + 1 8561 KachelY + 1 5425 0.14150973 0.90446798 8.107910 51.822198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90470499-0.90446798) × R
    0.000237010000000093 × 6371000     		dl = 1509.99071000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90470499-0.90446798) × R
    0.000237010000000093 × 6371000     		dr = 1509.99071000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14150973) × cos(0.90470499) × R
    0.000383500000000009 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 1509.74468016865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14150973) × cos(0.90446798) × R
    0.000383500000000009 × 0.61810388640811 × 6371000     		du = 1510.19993642741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90470499)-sin(0.90446798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.61810388640811)×R²
    abs(0.14150973-0.14112623)×0.000186330071977103×R²
    0.000383500000000009×0.000186330071977103×6371000²
    0.000383500000000009×0.000186330071977103×40589641000000     		ar = 2280044.16856096m²