Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8562 / 5426
↖ ↑ ↗
← N 51.808615°
E  8.129883°		 ← 1 510.66 m → N 51.808615°
E  8.151856°		 →
↑
1 510.88 m
↓
↑
1 510.88 m
↓
N 51.795027°
E  8.129883°		 ← 1 511.11 m →
2 282 767 m²		 N 51.795027°
E  8.151856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522613525390625 y=0.331207275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522613525390625 × 214)
    floor (0.522613525390625 × 16384)
    floor (8562.5)     		tx = 8562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331207275390625 × 214)
    floor (0.331207275390625 × 16384)
    floor (5426.5)     		ty = 5426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8562 / 5426 ti = "14/8562/5426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8562/5426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8562 ÷ 214
    8562 ÷ 16384     		x = 0.5225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5426 ÷ 214
    5426 ÷ 16384     		y = 0.3311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5225830078125 × 2 - 1) × π
    0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3311767578125 × 2 - 1) × π
    0.337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0607477147926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14189322} λ = 0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0607477147926))-π/2
    2×atan(2.88852997860712)-π/2
    2×1.2375136175478-π/2
    2.4750272350956-1.57079632675     		φ = 0.90423091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90423091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.808615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8562 KachelY 5426 0.14189322 0.90423091 8.129883 51.808615
    Oben rechts KachelX + 1 8563 KachelY 5426 0.14227672 0.90423091 8.151856 51.808615
    Unten links KachelX 8562 KachelY + 1 5427 0.14189322 0.90399376 8.129883 51.795027
    Unten rechts KachelX + 1 8563 KachelY + 1 5427 0.14227672 0.90399376 8.151856 51.795027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90423091-0.90399376) × R
    0.000237150000000019 × 6371000     		dl = 1510.88265000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90423091-0.90399376) × R
    0.000237150000000019 × 6371000     		dr = 1510.88265000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14189322-0.14227672) × cos(0.90423091) × R
    0.000383500000000009 × 0.618290228915873 × 6371000     		do = 1510.65522307027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14189322-0.14227672) × cos(0.90399376) × R
    0.000383500000000009 × 0.618476599538634 × 6371000     		du = 1511.11057840589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90423091)-sin(0.90399376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618290228915873-0.618476599538634)×R²
    abs(0.14227672-0.14189322)×0.000186370622760945×R²
    0.000383500000000009×0.000186370622760945×6371000²
    0.000383500000000009×0.000186370622760945×40589641000000     		ar = 2282766.77160585m²