Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8688 / 5616
↖ ↑ ↗
← N 49.152970°
E 10.898438°		 ← 1 597.96 m → N 49.152970°
E 10.920410°		 →
↑
1 598.23 m
↓
↑
1 598.23 m
↓
N 49.138597°
E 10.898438°		 ← 1 598.43 m →
2 554 284 m²		 N 49.138597°
E 10.920410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530303955078125 y=0.342803955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530303955078125 × 214)
    floor (0.530303955078125 × 16384)
    floor (8688.5)     		tx = 8688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342803955078125 × 214)
    floor (0.342803955078125 × 16384)
    floor (5616.5)     		ty = 5616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8688 / 5616 ti = "14/8688/5616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8688/5616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8688 ÷ 214
    8688 ÷ 16384     		x = 0.5302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5616 ÷ 214
    5616 ÷ 16384     		y = 0.3427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19021362} λ = 0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987883627370117))-π/2
    2×atan(2.68554484018595)-π/2
    2×1.21433874220473-π/2
    2.42867748440947-1.57079632675     		φ = 0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8688 KachelY 5616 0.19021362 0.85788116 10.898438 49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 8689 KachelY 5616 0.19059711 0.85788116 10.920410 49.152970
    Unten links KachelX 8688 KachelY + 1 5617 0.19021362 0.85763030 10.898438 49.138597
    Unten rechts KachelX + 1 8689 KachelY + 1 5617 0.19059711 0.85763030 10.920410 49.138597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85788116-0.85763030) × R
    0.000250860000000075 × 6371000     		dl = 1598.22906000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85788116-0.85763030) × R
    0.000250860000000075 × 6371000     		dr = 1598.22906000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19021362-0.19059711) × cos(0.85788116) × R
    0.000383489999999986 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 1597.96447576729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19021362-0.19059711) × cos(0.85763030) × R
    0.000383489999999986 × 0.65423149413128 × 6371000     		du = 1598.42806254529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85788116)-sin(0.85763030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.65423149413128)×R²
    abs(0.19059711-0.19021362)×0.00018974458565435×R²
    0.000383489999999986×0.00018974458565435×6371000²
    0.000383489999999986×0.00018974458565435×40589641000000     		ar = 2554283.73434526m²