Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8696 / 5624
↖ ↑ ↗
← N 49.037868°
E 11.074219°		 ← 1 601.67 m → N 49.037868°
E 11.096191°		 →
↑
1 601.92 m
↓
↑
1 601.92 m
↓
N 49.023461°
E 11.074219°		 ← 1 602.14 m →
2 566 132 m²		 N 49.023461°
E 11.096191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530792236328125 y=0.343292236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530792236328125 × 214)
    floor (0.530792236328125 × 16384)
    floor (8696.5)     		tx = 8696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343292236328125 × 214)
    floor (0.343292236328125 × 16384)
    floor (5624.5)     		ty = 5624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8696 / 5624 ti = "14/8696/5624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8696/5624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8696 ÷ 214
    8696 ÷ 16384     		x = 0.53076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5624 ÷ 214
    5624 ÷ 16384     		y = 0.34326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53076171875 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19328158} λ = 0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984815665794434))-π/2
    2×atan(2.6773183175867)-π/2
    2×1.21333429029029-π/2
    2.42666858058058-1.57079632675     		φ = 0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8696 KachelY 5624 0.19328158 0.85587225 11.074219 49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 8697 KachelY 5624 0.19366507 0.85587225 11.096191 49.037868
    Unten links KachelX 8696 KachelY + 1 5625 0.19328158 0.85562081 11.074219 49.023461
    Unten rechts KachelX + 1 8697 KachelY + 1 5625 0.19366507 0.85562081 11.096191 49.023461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85587225-0.85562081) × R
    0.000251439999999992 × 6371000     		dl = 1601.92423999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85587225-0.85562081) × R
    0.000251439999999992 × 6371000     		dr = 1601.92423999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19328158-0.19366507) × cos(0.85587225) × R
    0.000383489999999986 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 1601.67409713679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19328158-0.19366507) × cos(0.85562081) × R
    0.000383489999999986 × 0.655749938143483 × 6371000     		du = 1602.13794741368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85587225)-sin(0.85562081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.655749938143483)×R²
    abs(0.19366507-0.19328158)×0.000189852434910653×R²
    0.000383489999999986×0.000189852434910653×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189852434910653×40589641000000     		ar = 2566132.10080408m²