Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8703 / 5631
↖ ↑ ↗
← N 48.936935°
E 11.228028°		 ← 1 604.92 m → N 48.936935°
E 11.250000°		 →
↑
1 605.17 m
↓
↑
1 605.17 m
↓
N 48.922499°
E 11.228028°		 ← 1 605.39 m →
2 576 550 m²		 N 48.922499°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531219482421875 y=0.343719482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531219482421875 × 214)
    floor (0.531219482421875 × 16384)
    floor (8703.5)     		tx = 8703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343719482421875 × 214)
    floor (0.343719482421875 × 16384)
    floor (5631.5)     		ty = 5631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8703 / 5631 ti = "14/8703/5631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8703/5631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8703 ÷ 214
    8703 ÷ 16384     		x = 0.53118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5631 ÷ 214
    5631 ÷ 16384     		y = 0.34368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53118896484375 × 2 - 1) × π
    0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34368896484375 × 2 - 1) × π
    0.3126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98213119941571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19596605} λ = 0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98213119941571))-π/2
    2×atan(2.67014078481103)-π/2
    2×1.21245348377985-π/2
    2.4249069675597-1.57079632675     		φ = 0.85411064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85411064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.936935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8703 KachelY 5631 0.19596605 0.85411064 11.228028 48.936935
    Oben rechts KachelX + 1 8704 KachelY 5631 0.19634954 0.85411064 11.250000 48.936935
    Unten links KachelX 8703 KachelY + 1 5632 0.19596605 0.85385869 11.228028 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 8704 KachelY + 1 5632 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85411064-0.85385869) × R
    0.000251950000000001 × 6371000     		dl = 1605.17345000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85411064-0.85385869) × R
    0.000251950000000001 × 6371000     		dr = 1605.17345000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19596605-0.19634954) × cos(0.85411064) × R
    0.000383489999999986 × 0.65688933531863 × 6371000     		do = 1604.92173944369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19596605-0.19634954) × cos(0.85385869) × R
    0.000383489999999986 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 1605.38581874579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85411064)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65688933531863-0.657079281492828)×R²
    abs(0.19634954-0.19596605)×0.000189946174197431×R²
    0.000383489999999986×0.000189946174197431×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189946174197431×40589641000000     		ar = 2576550.2430006m²