Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8703 / 5633
↖ ↑ ↗
← N 48.908060°
E 11.228028°		 ← 1 605.85 m → N 48.908060°
E 11.250000°		 →
↑
1 606.13 m
↓
↑
1 606.13 m
↓
N 48.893615°
E 11.228028°		 ← 1 606.31 m →
2 579 575 m²		 N 48.893615°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531219482421875 y=0.343841552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531219482421875 × 214)
    floor (0.531219482421875 × 16384)
    floor (8703.5)     		tx = 8703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343841552734375 × 214)
    floor (0.343841552734375 × 16384)
    floor (5633.5)     		ty = 5633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8703 / 5633 ti = "14/8703/5633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8703/5633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8703 ÷ 214
    8703 ÷ 16384     		x = 0.53118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5633 ÷ 214
    5633 ÷ 16384     		y = 0.34381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53118896484375 × 2 - 1) × π
    0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34381103515625 × 2 - 1) × π
    0.3123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.98136420902179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19596605} λ = 0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98136420902179))-π/2
    2×atan(2.66809359766546)-π/2
    2×1.21220149703066-π/2
    2.42440299406132-1.57079632675     		φ = 0.85360667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85360667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.908060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8703 KachelY 5633 0.19596605 0.85360667 11.228028 48.908060
    Oben rechts KachelX + 1 8704 KachelY 5633 0.19634954 0.85360667 11.250000 48.908060
    Unten links KachelX 8703 KachelY + 1 5634 0.19596605 0.85335457 11.228028 48.893615
    Unten rechts KachelX + 1 8704 KachelY + 1 5634 0.19634954 0.85335457 11.250000 48.893615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85360667-0.85335457) × R
    0.000252099999999977 × 6371000     		dl = 1606.12909999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85360667-0.85335457) × R
    0.000252099999999977 × 6371000     		dr = 1606.12909999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19596605-0.19634954) × cos(0.85360667) × R
    0.000383489999999986 × 0.657269238712331 × 6371000     		do = 1605.84992503395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19596605-0.19634954) × cos(0.85335457) × R
    0.000383489999999986 × 0.657459214465196 × 6371000     		du = 1606.31407660309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85360667)-sin(0.85335457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657269238712331-0.657459214465196)×R²
    abs(0.19634954-0.19596605)×0.000189975752864946×R²
    0.000383489999999986×0.000189975752864946×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189975752864946×40589641000000     		ar = 2579575.05216224m²