Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8705 / 6657
↖ ↑ ↗
← N 31.933517°
E 11.271973°		 ← 2 073.46 m → N 31.933517°
E 11.293945°		 →
↑
2 073.70 m
↓
↑
2 073.70 m
↓
N 31.914868°
E 11.271973°		 ← 2 073.89 m →
4 300 173 m²		 N 31.914868°
E 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531341552734375 y=0.406341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531341552734375 × 214)
    floor (0.531341552734375 × 16384)
    floor (8705.5)     		tx = 8705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406341552734375 × 214)
    floor (0.406341552734375 × 16384)
    floor (6657.5)     		ty = 6657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8705 / 6657 ti = "14/8705/6657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8705/6657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8705 ÷ 214
    8705 ÷ 16384     		x = 0.53131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6657 ÷ 214
    6657 ÷ 16384     		y = 0.40631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53131103515625 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19673304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19673304} λ = 0.19673304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58866512733429))-π/2
    2×atan(1.80158192710794)-π/2
    2×1.06407066800832-π/2
    2.12814133601663-1.57079632675     		φ = 0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19673304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8705 KachelY 6657 0.19673304 0.55734501 11.271973 31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 8706 KachelY 6657 0.19711653 0.55734501 11.293945 31.933517
    Unten links KachelX 8705 KachelY + 1 6658 0.19673304 0.55701952 11.271973 31.914868
    Unten rechts KachelX + 1 8706 KachelY + 1 6658 0.19711653 0.55701952 11.293945 31.914868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55734501-0.55701952) × R
    0.000325490000000039 × 6371000     		dl = 2073.69679000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55734501-0.55701952) × R
    0.000325490000000039 × 6371000     		dr = 2073.69679000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19673304-0.19711653) × cos(0.55734501) × R
    0.000383490000000014 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 2073.46456957468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19673304-0.19711653) × cos(0.55701952) × R
    0.000383490000000014 × 0.848834535317246 × 6371000     		du = 2073.88509094995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55734501)-sin(0.55701952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848834535317246)×R²
    abs(0.19711653-0.19673304)×0.000172118054045489×R²
    0.000383490000000014×0.000172118054045489×6371000²
    0.000383490000000014×0.000172118054045489×40589641000000     		ar = 4300172.87698453m²