Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8706 / 5630
↖ ↑ ↗
← N 48.951367°
E 11.293945°		 ← 1 604.50 m → N 48.951367°
E 11.315918°		 →
↑
1 604.73 m
↓
↑
1 604.73 m
↓
N 48.936935°
E 11.293945°		 ← 1 604.96 m →
2 575 157 m²		 N 48.936935°
E 11.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531402587890625 y=0.343658447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531402587890625 × 214)
    floor (0.531402587890625 × 16384)
    floor (8706.5)     		tx = 8706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343658447265625 × 214)
    floor (0.343658447265625 × 16384)
    floor (5630.5)     		ty = 5630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8706 / 5630 ti = "14/8706/5630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8706/5630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8706 ÷ 214
    8706 ÷ 16384     		x = 0.5313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5630 ÷ 214
    5630 ÷ 16384     		y = 0.3436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3436279296875 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19711653} λ = 0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982514694612671))-π/2
    2×atan(2.67116496734921)-π/2
    2×1.21257942252242-π/2
    2.42515884504485-1.57079632675     		φ = 0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8706 KachelY 5630 0.19711653 0.85436252 11.293945 48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 8707 KachelY 5630 0.19750003 0.85436252 11.315918 48.951367
    Unten links KachelX 8706 KachelY + 1 5631 0.19711653 0.85411064 11.293945 48.936935
    Unten rechts KachelX + 1 8707 KachelY + 1 5631 0.19750003 0.85411064 11.315918 48.936935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85436252-0.85411064) × R
    0.000251879999999982 × 6371000     		dl = 1604.72747999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85436252-0.85411064) × R
    0.000251879999999982 × 6371000     		dr = 1604.72747999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19711653-0.19750003) × cos(0.85436252) × R
    0.000383499999999981 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 1604.49952556079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19711653-0.19750003) × cos(0.85411064) × R
    0.000383499999999981 × 0.65688933531863 × 6371000     		du = 1604.96358986322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85436252)-sin(0.85411064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.65688933531863)×R²
    abs(0.19750003-0.19711653)×0.000189935082073434×R²
    0.000383499999999981×0.000189935082073434×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189935082073434×40589641000000     		ar = 2575156.84229791m²