Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8712 / 5639
↖ ↑ ↗
← N 48.821333°
E 11.425781°		 ← 1 608.68 m → N 48.821333°
E 11.447754°		 →
↑
1 608.93 m
↓
↑
1 608.93 m
↓
N 48.806863°
E 11.425781°		 ← 1 609.14 m →
2 588 626 m²		 N 48.806863°
E 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531768798828125 y=0.344207763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531768798828125 × 214)
    floor (0.531768798828125 × 16384)
    floor (8712.5)     		tx = 8712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344207763671875 × 214)
    floor (0.344207763671875 × 16384)
    floor (5639.5)     		ty = 5639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8712 / 5639 ti = "14/8712/5639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8712/5639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8712 ÷ 214
    8712 ÷ 16384     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5639 ÷ 214
    5639 ÷ 16384     		y = 0.34417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34417724609375 × 2 - 1) × π
    0.3116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979063237840027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979063237840027))-π/2
    2×atan(2.66196144884139)-π/2
    2×1.21144466248944-π/2
    2.42288932497888-1.57079632675     		φ = 0.85209300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85209300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.821333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8712 KachelY 5639 0.19941750 0.85209300 11.425781 48.821333
    Oben rechts KachelX + 1 8713 KachelY 5639 0.19980100 0.85209300 11.447754 48.821333
    Unten links KachelX 8712 KachelY + 1 5640 0.19941750 0.85184046 11.425781 48.806863
    Unten rechts KachelX + 1 8713 KachelY + 1 5640 0.19980100 0.85184046 11.447754 48.806863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85209300-0.85184046) × R
    0.000252539999999968 × 6371000     		dl = 1608.93233999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85209300-0.85184046) × R
    0.000252539999999968 × 6371000     		dr = 1608.93233999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19980100) × cos(0.85209300) × R
    0.000383500000000009 × 0.658409271568341 × 6371000     		do = 1608.67721742363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19980100) × cos(0.85184046) × R
    0.000383500000000009 × 0.658599327353307 × 6371000     		du = 1609.14157663683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85209300)-sin(0.85184046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658409271568341-0.658599327353307)×R²
    abs(0.19980100-0.19941750)×0.000190055784965781×R²
    0.000383500000000009×0.000190055784965781×6371000²
    0.000383500000000009×0.000190055784965781×40589641000000     		ar = 2588626.3747689m²