Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8712 / 6664
↖ ↑ ↗
← N 31.802893°
E 11.425781°		 ← 2 076.46 m → N 31.802893°
E 11.447754°		 →
↑
2 076.69 m
↓
↑
2 076.69 m
↓
N 31.784217°
E 11.425781°		 ← 2 076.88 m →
4 312 601 m²		 N 31.784217°
E 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531768798828125 y=0.406768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531768798828125 × 214)
    floor (0.531768798828125 × 16384)
    floor (8712.5)     		tx = 8712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406768798828125 × 214)
    floor (0.406768798828125 × 16384)
    floor (6664.5)     		ty = 6664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8712 / 6664 ti = "14/8712/6664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8712/6664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8712 ÷ 214
    8712 ÷ 16384     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6664 ÷ 214
    6664 ÷ 16384     		y = 0.40673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    0.1865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.585980660955566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585980660955566))-π/2
    2×atan(1.79675212661507)-π/2
    2×1.0629307570384-π/2
    2.12586151407679-1.57079632675     		φ = 0.55506519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55506519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.802893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8712 KachelY 6664 0.19941750 0.55506519 11.425781 31.802893
    Oben rechts KachelX + 1 8713 KachelY 6664 0.19980100 0.55506519 11.447754 31.802893
    Unten links KachelX 8712 KachelY + 1 6665 0.19941750 0.55473923 11.425781 31.784217
    Unten rechts KachelX + 1 8713 KachelY + 1 6665 0.19980100 0.55473923 11.447754 31.784217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55506519-0.55473923) × R
    0.000325959999999959 × 6371000     		dl = 2076.69115999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55506519-0.55473923) × R
    0.000325959999999959 × 6371000     		dr = 2076.69115999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19980100) × cos(0.55506519) × R
    0.000383500000000009 × 0.849866087030189 × 6371000     		do = 2076.45953832004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19980100) × cos(0.55473923) × R
    0.000383500000000009 × 0.850037822375631 × 6371000     		du = 2076.87913559725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55506519)-sin(0.55473923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849866087030189-0.850037822375631)×R²
    abs(0.19980100-0.19941750)×0.000171735345442126×R²
    0.000383500000000009×0.000171735345442126×6371000²
    0.000383500000000009×0.000171735345442126×40589641000000     		ar = 4312600.89248885m²