Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8720 / 6672
↖ ↑ ↗
← N 31.653381°
E 11.601562°		 ← 2 079.81 m → N 31.653381°
E 11.623535°		 →
↑
2 079.94 m
↓
↑
2 079.94 m
↓
N 31.634676°
E 11.601562°		 ← 2 080.23 m →
4 326 321 m²		 N 31.634676°
E 11.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532257080078125 y=0.407257080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532257080078125 × 214)
    floor (0.532257080078125 × 16384)
    floor (8720.5)     		tx = 8720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407257080078125 × 214)
    floor (0.407257080078125 × 16384)
    floor (6672.5)     		ty = 6672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8720 / 6672 ti = "14/8720/6672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8720/6672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8720 ÷ 214
    8720 ÷ 16384     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6672 ÷ 214
    6672 ÷ 16384     		y = 0.4072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582912699379883))-π/2
    2×atan(1.79124820735307)-π/2
    2×1.06162602579719-π/2
    2.12325205159438-1.57079632675     		φ = 0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8720 KachelY 6672 0.20248546 0.55245572 11.601562 31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 8721 KachelY 6672 0.20286896 0.55245572 11.623535 31.653381
    Unten links KachelX 8720 KachelY + 1 6673 0.20248546 0.55212925 11.601562 31.634676
    Unten rechts KachelX + 1 8721 KachelY + 1 6673 0.20286896 0.55212925 11.623535 31.634676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55245572-0.55212925) × R
    0.000326469999999968 × 6371000     		dl = 2079.94036999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55245572-0.55212925) × R
    0.000326469999999968 × 6371000     		dr = 2079.94036999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20286896) × cos(0.55245572) × R
    0.000383499999999981 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 2079.81243044179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20286896) × cos(0.55212925) × R
    0.000383499999999981 × 0.851409658571402 × 6371000     		du = 2080.23091347974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55245572)-sin(0.55212925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.851409658571402)×R²
    abs(0.20286896-0.20248546)×0.000171279302770166×R²
    0.000383499999999981×0.000171279302770166×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171279302770166×40589641000000     		ar = 4326321.08441077m²