Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8737 / 5663
↖ ↑ ↗
← N 48.472921°
E 11.975098°		 ← 1 619.83 m → N 48.472921°
E 11.997070°		 →
↑
1 620.02 m
↓
↑
1 620.02 m
↓
N 48.458352°
E 11.975098°		 ← 1 620.30 m →
2 624 530 m²		 N 48.458352°
E 11.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533294677734375 y=0.345672607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533294677734375 × 214)
    floor (0.533294677734375 × 16384)
    floor (8737.5)     		tx = 8737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345672607421875 × 214)
    floor (0.345672607421875 × 16384)
    floor (5663.5)     		ty = 5663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8737 / 5663 ti = "14/8737/5663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8737/5663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8737 ÷ 214
    8737 ÷ 16384     		x = 0.53326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5663 ÷ 214
    5663 ÷ 16384     		y = 0.34564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53326416015625 × 2 - 1) × π
    0.0665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20900488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34564208984375 × 2 - 1) × π
    0.3087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.969859353112976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20900488} λ = 0.20900488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969859353112976))-π/2
    2×atan(2.63757346676789)-π/2
    2×1.20840420052072-π/2
    2.41680840104143-1.57079632675     		φ = 0.84601207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20900488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84601207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.472921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8737 KachelY 5663 0.20900488 0.84601207 11.975098 48.472921
    Oben rechts KachelX + 1 8738 KachelY 5663 0.20938838 0.84601207 11.997070 48.472921
    Unten links KachelX 8737 KachelY + 1 5664 0.20900488 0.84575779 11.975098 48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 8738 KachelY + 1 5664 0.20938838 0.84575779 11.997070 48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84601207-0.84575779) × R
    0.000254280000000051 × 6371000     		dl = 1620.01788000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84601207-0.84575779) × R
    0.000254280000000051 × 6371000     		dr = 1620.01788000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20900488-0.20938838) × cos(0.84601207) × R
    0.000383500000000009 × 0.662973943567427 × 6371000     		do = 1619.82998237854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20900488-0.20938838) × cos(0.84575779) × R
    0.000383500000000009 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 1620.29504424749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84601207)-sin(0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662973943567427-0.663164286939641)×R²
    abs(0.20938838-0.20900488)×0.000190343372214463×R²
    0.000383500000000009×0.000190343372214463×6371000²
    0.000383500000000009×0.000190343372214463×40589641000000     		ar = 2624530.25242697m²