Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8740 / 5668
↖ ↑ ↗
← N 48.400033°
E 12.041016°		 ← 1 622.11 m → N 48.400033°
E 12.062988°		 →
↑
1 622.38 m
↓
↑
1 622.38 m
↓
N 48.385442°
E 12.041016°		 ← 1 622.58 m →
2 632 054 m²		 N 48.385442°
E 12.062988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533477783203125 y=0.345977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533477783203125 × 214)
    floor (0.533477783203125 × 16384)
    floor (8740.5)     		tx = 8740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345977783203125 × 214)
    floor (0.345977783203125 × 16384)
    floor (5668.5)     		ty = 5668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8740 / 5668 ti = "14/8740/5668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8740/5668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8740 ÷ 214
    8740 ÷ 16384     		x = 0.533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5668 ÷ 214
    5668 ÷ 16384     		y = 0.345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    0.30810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.967941877128174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21015537} λ = 0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967941877128174))-π/2
    2×atan(2.63252082869139)-π/2
    2×1.20776812595292-π/2
    2.41553625190584-1.57079632675     		φ = 0.84473993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84473993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.400033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8740 KachelY 5668 0.21015537 0.84473993 12.041016 48.400033
    Oben rechts KachelX + 1 8741 KachelY 5668 0.21053886 0.84473993 12.062988 48.400033
    Unten links KachelX 8740 KachelY + 1 5669 0.21015537 0.84448528 12.041016 48.385442
    Unten rechts KachelX + 1 8741 KachelY + 1 5669 0.21053886 0.84448528 12.062988 48.385442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84473993-0.84448528) × R
    0.000254650000000023 × 6371000     		dl = 1622.37515000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84473993-0.84448528) × R
    0.000254650000000023 × 6371000     		dr = 1622.37515000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21015537-0.21053886) × cos(0.84473993) × R
    0.000383489999999986 × 0.663925784885643 × 6371000     		do = 1622.1132970949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21015537-0.21053886) × cos(0.84448528) × R
    0.000383489999999986 × 0.664116190237372 × 6371000     		du = 1622.57849826634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84473993)-sin(0.84448528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663925784885643-0.664116190237372)×R²
    abs(0.21053886-0.21015537)×0.000190405351728318×R²
    0.000383489999999986×0.000190405351728318×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190405351728318×40589641000000     		ar = 2632053.68332569m²