Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8768 / 5696
↖ ↑ ↗
← N 47.989922°
E 12.656250°		 ← 1 635.19 m → N 47.989922°
E 12.678223°		 →
↑
1 635.37 m
↓
↑
1 635.37 m
↓
N 47.975214°
E 12.656250°		 ← 1 635.66 m →
2 674 528 m²		 N 47.975214°
E 12.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535186767578125 y=0.347686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535186767578125 × 214)
    floor (0.535186767578125 × 16384)
    floor (8768.5)     		tx = 8768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347686767578125 × 214)
    floor (0.347686767578125 × 16384)
    floor (5696.5)     		ty = 5696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8768 / 5696 ti = "14/8768/5696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8768/5696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8768 ÷ 214
    8768 ÷ 16384     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5696 ÷ 214
    5696 ÷ 16384     		y = 0.34765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34765625 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957204011613281))-π/2
    2×atan(2.60440439944139)-π/2
    2×1.20418923382357-π/2
    2.40837846764713-1.57079632675     		φ = 0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8768 KachelY 5696 0.22089323 0.83758214 12.656250 47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 8769 KachelY 5696 0.22127673 0.83758214 12.678223 47.989922
    Unten links KachelX 8768 KachelY + 1 5697 0.22089323 0.83732545 12.656250 47.975214
    Unten rechts KachelX + 1 8769 KachelY + 1 5697 0.22127673 0.83732545 12.678223 47.975214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83758214-0.83732545) × R
    0.000256689999999948 × 6371000     		dl = 1635.37198999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83758214-0.83732545) × R
    0.000256689999999948 × 6371000     		dr = 1635.37198999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22127673) × cos(0.83758214) × R
    0.000383500000000009 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 1635.19178400201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22127673) × cos(0.83732545) × R
    0.000383500000000009 × 0.669452021471425 × 6371000     		du = 1635.65773084271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83758214)-sin(0.83732545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.669452021471425)×R²
    abs(0.22127673-0.22089323)×0.000190705578877681×R²
    0.000383500000000009×0.000190705578877681×6371000²
    0.000383500000000009×0.000190705578877681×40589641000000     		ar = 2674527.85472519m²