Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8769 / 5695
↖ ↑ ↗
← N 48.004625°
E 12.678223°		 ← 1 634.68 m → N 48.004625°
E 12.700195°		 →
↑
1 634.93 m
↓
↑
1 634.93 m
↓
N 47.989922°
E 12.678223°		 ← 1 635.15 m →
2 672 967 m²		 N 47.989922°
E 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535247802734375 y=0.347625732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535247802734375 × 214)
    floor (0.535247802734375 × 16384)
    floor (8769.5)     		tx = 8769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347625732421875 × 214)
    floor (0.347625732421875 × 16384)
    floor (5695.5)     		ty = 5695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8769 / 5695 ti = "14/8769/5695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8769/5695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8769 ÷ 214
    8769 ÷ 16384     		x = 0.53521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5695 ÷ 214
    5695 ÷ 16384     		y = 0.34759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53521728515625 × 2 - 1) × π
    0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34759521484375 × 2 - 1) × π
    0.3048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.957587506810242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22127673} λ = 0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957587506810242))-π/2
    2×atan(2.60540336755701)-π/2
    2×1.20431754479031-π/2
    2.40863508958062-1.57079632675     		φ = 0.83783876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83783876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.004625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8769 KachelY 5695 0.22127673 0.83783876 12.678223 48.004625
    Oben rechts KachelX + 1 8770 KachelY 5695 0.22166022 0.83783876 12.700195 48.004625
    Unten links KachelX 8769 KachelY + 1 5696 0.22127673 0.83758214 12.678223 47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 8770 KachelY + 1 5696 0.22166022 0.83758214 12.700195 47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83783876-0.83758214) × R
    0.000256620000000041 × 6371000     		dl = 1634.92602000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83783876-0.83758214) × R
    0.000256620000000041 × 6371000     		dr = 1634.92602000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22127673-0.22166022) × cos(0.83783876) × R
    0.000383489999999986 × 0.669070618240126 × 6371000     		do = 1634.68323003866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22127673-0.22166022) × cos(0.83758214) × R
    0.000383489999999986 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 1635.14914536348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83783876)-sin(0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669070618240126-0.669261315892548)×R²
    abs(0.22166022-0.22127673)×0.000190697652422189×R²
    0.000383489999999986×0.000190697652422189×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190697652422189×40589641000000     		ar = 2672967.03046094m²