Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 968 / 712
↖ ↑ ↗
← N 47.989922°
W  9.843750°		 ← 13.081 km → N 47.989922°
W  9.667969°		 →
↑
13.096 km
↓
↑
13.096 km
↓
N 47.872144°
W  9.843750°		 ← 13.111 km →
171.513 km²		 N 47.872144°
W  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472900390625 y=0.347900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472900390625 × 211)
    floor (0.472900390625 × 2048)
    floor (968.5)     		tx = 968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347900390625 × 211)
    floor (0.347900390625 × 2048)
    floor (712.5)     		ty = 712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 968 / 712 ti = "11/968/712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/968/712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 968 ÷ 211
    968 ÷ 2048     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 712 ÷ 211
    712 ÷ 2048     		y = 0.34765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34765625 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957204011613281))-π/2
    2×atan(2.60440439944139)-π/2
    2×1.20418923382357-π/2
    2.40837846764713-1.57079632675     		φ = 0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 968 KachelY 712 -0.17180585 0.83758214 -9.843750 47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 969 KachelY 712 -0.16873789 0.83758214 -9.667969 47.989922
    Unten links KachelX 968 KachelY + 1 713 -0.17180585 0.83552653 -9.843750 47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 969 KachelY + 1 713 -0.16873789 0.83552653 -9.667969 47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83758214-0.83552653) × R
    0.00205560999999999 × 6371000     		dl = 13096.2913099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83758214-0.83552653) × R
    0.00205560999999999 × 6371000     		dr = 13096.2913099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.16873789) × cos(0.83758214) × R
    0.00306796000000001 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 13081.3637174621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.16873789) × cos(0.83552653) × R
    0.00306796000000001 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 13111.1900690949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83758214)-sin(0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.670787274788976)×R²
    abs(-0.16873789--0.17180585)×0.00152595889642804×R²
    0.00306796000000001×0.00152595889642804×6371000²
    0.00306796000000001×0.00152595889642804×40589641000000     		ar = 171512717.665168m²