Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 968 / 840
↖ ↑ ↗
← N 30.751278°
W  9.843750°		 ← 16.798 km → N 30.751278°
W  9.667969°		 →
↑
16.811 km
↓
↑
16.811 km
↓
N 30.600094°
W  9.843750°		 ← 16.824 km →
282.606 km²		 N 30.600094°
W  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472900390625 y=0.410400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472900390625 × 211)
    floor (0.472900390625 × 2048)
    floor (968.5)     		tx = 968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410400390625 × 211)
    floor (0.410400390625 × 2048)
    floor (840.5)     		ty = 840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 968 / 840 ti = "11/968/840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/968/840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 968 ÷ 211
    968 ÷ 2048     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 840 ÷ 211
    840 ÷ 2048     		y = 0.41015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41015625 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564504929925781))-π/2
    2×atan(1.75857694835724)-π/2
    2×1.05375368658604-π/2
    2.10750737317209-1.57079632675     		φ = 0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 968 KachelY 840 -0.17180585 0.53671105 -9.843750 30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 969 KachelY 840 -0.16873789 0.53671105 -9.667969 30.751278
    Unten links KachelX 968 KachelY + 1 841 -0.17180585 0.53407239 -9.843750 30.600094
    Unten rechts KachelX + 1 969 KachelY + 1 841 -0.16873789 0.53407239 -9.667969 30.600094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53671105-0.53407239) × R
    0.00263866000000001 × 6371000     		dl = 16810.9028600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53671105-0.53407239) × R
    0.00263866000000001 × 6371000     		dr = 16810.9028600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.16873789) × cos(0.53671105) × R
    0.00306796000000001 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 16797.7117384979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.16873789) × cos(0.53407239) × R
    0.00306796000000001 × 0.860741192740037 × 6371000     		du = 16824.0242510032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53671105)-sin(0.53407239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.860741192740037)×R²
    abs(-0.16873789--0.17180585)×0.0013461858506556×R²
    0.00306796000000001×0.0013461858506556×6371000²
    0.00306796000000001×0.0013461858506556×40589641000000     		ar = 282606032.823047m²