Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 976 / 848
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
W  8.437500°		 ← 17.006 km → N 29.535229°
W  8.261719°		 →
↑
17.019 km
↓
↑
17.019 km
↓
N 29.382175°
W  8.437500°		 ← 17.032 km →
289.643 km²		 N 29.382175°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476806640625 y=0.414306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476806640625 × 211)
    floor (0.476806640625 × 2048)
    floor (976.5)     		tx = 976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414306640625 × 211)
    floor (0.414306640625 × 2048)
    floor (848.5)     		ty = 848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 976 / 848 ti = "11/976/848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/976/848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 976 ÷ 211
    976 ÷ 2048     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 848 ÷ 211
    848 ÷ 2048     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 976 KachelY 848 -0.14726216 0.51548700 -8.437500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 977 KachelY 848 -0.14419419 0.51548700 -8.261719 29.535229
    Unten links KachelX 976 KachelY + 1 849 -0.14726216 0.51281570 -8.437500 29.382175
    Unten rechts KachelX + 1 977 KachelY + 1 849 -0.14419419 0.51281570 -8.261719 29.382175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.51281570) × R
    0.00267130000000004 × 6371000     		dl = 17018.8523000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.51281570) × R
    0.00267130000000004 × 6371000     		dr = 17018.8523000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14419419) × cos(0.51548700) × R
    0.00306797 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 17006.0832208986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14419419) × cos(0.51281570) × R
    0.00306797 × 0.871366489158399 × 6371000     		du = 17031.7615243725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.51281570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.871366489158399)×R²
    abs(-0.14419419--0.14726216)×0.00131373452555816×R²
    0.00306797×0.00131373452555816×6371000²
    0.00306797×0.00131373452555816×40589641000000     		ar = 289642698.402157m²