Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9856 / 6784
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
E 36.562500°		 ← 2 125.73 m → N 29.535229°
E 36.584472°		 →
↑
2 125.94 m
↓
↑
2 125.94 m
↓
N 29.516110°
E 36.562500°		 ← 2 126.13 m →
4 519 590 m²		 N 29.516110°
E 36.584472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601593017578125 y=0.414093017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601593017578125 × 214)
    floor (0.601593017578125 × 16384)
    floor (9856.5)     		tx = 9856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414093017578125 × 214)
    floor (0.414093017578125 × 16384)
    floor (6784.5)     		ty = 6784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9856 / 6784 ti = "14/9856/6784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9856/6784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9856 ÷ 214
    9856 ÷ 16384     		x = 0.6015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6784 ÷ 214
    6784 ÷ 16384     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6015625 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63813601} λ = 0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9856 KachelY 6784 0.63813601 0.51548700 36.562500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 9857 KachelY 6784 0.63851950 0.51548700 36.584472 29.535229
    Unten links KachelX 9856 KachelY + 1 6785 0.63813601 0.51515331 36.562500 29.516110
    Unten rechts KachelX + 1 9857 KachelY + 1 6785 0.63851950 0.51515331 36.584472 29.516110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.51515331) × R
    0.000333690000000053 × 6371000     		dl = 2125.93899000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.51515331) × R
    0.000333690000000053 × 6371000     		dr = 2125.93899000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63813601-0.63851950) × cos(0.51548700) × R
    0.000383490000000042 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 2125.72575819943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63813601-0.63851950) × cos(0.51515331) × R
    0.000383490000000042 × 0.870217201552995 × 6371000     		du = 2126.12753734692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.51515331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.870217201552995)×R²
    abs(0.63851950-0.63813601)×0.000164446920153605×R²
    0.000383490000000042×0.000164446920153605×6371000²
    0.000383490000000042×0.000164446920153605×40589641000000     		ar = 4519590.39231947m²