Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 992 / 608
↖ ↑ ↗
← N 58.813742°
W  5.625000°		 ← 10.121 km → N 58.813742°
W  5.449219°		 →
↑
10.135 km
↓
↑
10.135 km
↓
N 58.722599°
W  5.625000°		 ← 10.148 km →
102.711 km²		 N 58.722599°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484619140625 y=0.297119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484619140625 × 211)
    floor (0.484619140625 × 2048)
    floor (992.5)     		tx = 992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297119140625 × 211)
    floor (0.297119140625 × 2048)
    floor (608.5)     		ty = 608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 992 / 608 ti = "11/992/608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/992/608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 992 ÷ 211
    992 ÷ 2048     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 608 ÷ 211
    608 ÷ 2048     		y = 0.296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296875 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27627201548437))-π/2
    2×atan(3.58325647014846)-π/2
    2×1.29864488256632-π/2
    2.59728976513265-1.57079632675     		φ = 1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 992 KachelY 608 -0.09817477 1.02649344 -5.625000 58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 993 KachelY 608 -0.09510681 1.02649344 -5.449219 58.813742
    Unten links KachelX 992 KachelY + 1 609 -0.09817477 1.02490269 -5.625000 58.722599
    Unten rechts KachelX + 1 993 KachelY + 1 609 -0.09510681 1.02490269 -5.449219 58.722599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02649344-1.02490269) × R
    0.00159075000000009 × 6371000     		dl = 10134.6682500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02649344-1.02490269) × R
    0.00159075000000009 × 6371000     		dr = 10134.6682500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.09510681) × cos(1.02649344) × R
    0.00306795999999999 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 10121.331865646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.09510681) × cos(1.02490269) × R
    0.00306795999999999 × 0.519182056613281 × 6371000     		du = 10147.9185437168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02649344)-sin(1.02490269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.519182056613281)×R²
    abs(-0.09510681--0.09817477)×0.00136021255391972×R²
    0.00306795999999999×0.00136021255391972×6371000²
    0.00306795999999999×0.00136021255391972×40589641000000     		ar = 102711085.946627m²