Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9984 / 6912
↖ ↑ ↗
← N 27.059126°
E 39.375000°		 ← 2 175.83 m → N 27.059126°
E 39.396973°		 →
↑
2 176.02 m
↓
↑
2 176.02 m
↓
N 27.039557°
E 39.375000°		 ← 2 176.21 m →
4 735 055 m²		 N 27.039557°
E 39.396973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609405517578125 y=0.421905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609405517578125 × 214)
    floor (0.609405517578125 × 16384)
    floor (9984.5)     		tx = 9984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421905517578125 × 214)
    floor (0.421905517578125 × 16384)
    floor (6912.5)     		ty = 6912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9984 / 6912 ti = "14/9984/6912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9984/6912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9984 ÷ 214
    9984 ÷ 16384     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6912 ÷ 214
    6912 ÷ 16384     		y = 0.421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421875 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Φ = 0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490873852109375))-π/2
    2×atan(1.63374324634155)-π/2
    2×1.02153358221551-π/2
    2.04306716443102-1.57079632675     		φ = 0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9984 KachelY 6912 0.68722339 0.47227084 39.375000 27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 9985 KachelY 6912 0.68760689 0.47227084 39.396973 27.059126
    Unten links KachelX 9984 KachelY + 1 6913 0.68722339 0.47192929 39.375000 27.039557
    Unten rechts KachelX + 1 9985 KachelY + 1 6913 0.68760689 0.47192929 39.396973 27.039557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47227084-0.47192929) × R
    0.000341550000000024 × 6371000     		dl = 2176.01505000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47227084-0.47192929) × R
    0.000341550000000024 × 6371000     		dr = 2176.01505000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(0.47227084) × R
    0.000383499999999981 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 2175.83126891953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(0.47192929) × R
    0.000383499999999981 × 0.890692880476496 × 6371000     		du = 2176.21076497119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47227084)-sin(0.47192929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.890692880476496)×R²
    abs(0.68760689-0.68722339)×0.000155322470054564×R²
    0.000383499999999981×0.000155322470054564×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155322470054564×40589641000000     		ar = 4735054.52802088m²