Zu berechnen ist:
⟪int_x dx/sqrt(1+x²)⟫
Wir bereiten eine Substituion vor:
(1)
⟪t = x + sqrt(1+x²)⟫
(2)
⟪sqrt(1+x²) = t - x⟫
⟪1 + x² = t² -2tx + x²⟫
⟪2tx = t² - 1⟫
⟪x = t/2 - 1/(2t)⟫
(3)
⟪dx = (1/2 + 1/(2t²)) dt⟫
(4)
⟪sqrt(1+x²) = t - x = t/2 + 1/(2t)⟫
Wir integrieren durch Substitution:
⟪int_x dx/sqrt(1+x²) = int_t (1/2 + 1/(2t²)) / (t/2 + 1/(2t)) dt = int_t 1/t dt = ln t = ln (x + sqrt(1+x²)) ∎⟫