Berechnung von ∫⅟√(1+x²)dx

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Zu berechnen ist:

⟪int_x dx/sqrt(1+x²)⟫

Wir bereiten eine Substituion vor:

(1)

⟪t = x + sqrt(1+x²)⟫


(2)

⟪sqrt(1+x²) = t - x⟫

⟪1 + x² = t² -2tx + x²⟫

⟪2tx = t² - 1⟫

⟪x = t/2 - 1/(2t)⟫


(3)

⟪dx = (1/2 + 1/(2t²)) dt⟫


(4)

⟪sqrt(1+x²) = t - x = t/2 + 1/(2t)⟫


Wir integrieren durch Substitution:

⟪int_x dx/sqrt(1+x²) = int_t (1/2 + 1/(2t²)) / (t/2 + 1/(2t)) dt = int_t 1/t dt = ln t = ln (x + sqrt(1+x²)) ∎⟫