1. Aufgabenstellung
Gegeben ist eine Menge von ⟪n+1⟫ Punkten ⟪ P_0(t_0,s_0)⟫, ⟪ P_1(t_1,s_1)⟫, …, ⟪P_n(t_n,s_n)⟫ mit ⟪ t_i ⟫ streng monoton steigend.
^
| n = 4
s₄ + o
s₃ + o ·
s₁ + o · ·
s₂ | · o · ·
s₀ + o · · · ·
| · · · · ·
| · · · · ·
----+---+-----+---+-----+-------+--->
t0 t1 t2 t3 t4
Gesucht ist eine zusammenhängende Kurve ⟪ f(t) ⟫ mit ⟪ f(t_1)=s_1 ⟫, ⟪ f(t_2)=s_2 ⟫, …, ⟪ f(t_n)=s_n ⟫, die abschnittsweise aus Polynomen dritten Gerades ⟪ f_i(t) ⟫ besteht. Die Funktion soll zweimal stetig differenzierbar sein (weder ⟪ f'(t) ⟫ noch ⟪ f''(t) ⟫ sollen "springen"). Bei einer Trajektorienplanung sind ⟪ t ⟫ die Zeit und ⟪ s ⟫ die Position auf der Achse.
Die Gesamtfunktion:
⟪(1)⟫ ⟪ f(t) = { ( f_0(t) , if t in [ t_0, t_1] "," ), ( f_1(t) , if t in [ t_1, t_2] "," ), ( , vdots ), ( f_i(t) , if t in [ t_i, t_(i+1)] ","), ( , vdots ), ( f_(n-1)(t), if t in [ t_(n-1), t_n] "." ) :}⟫
Die Gesamtfunktion soll stetig sein:
⟪(2)⟫ ⟪{: ( f_(i-1)(t_i) , = f_i(t_i) , = s_i ), ( f_i(t_(i+1)) , = f_(i+1)(t_(i+1)) , = s_(i+1)) :}⟫
Die Gesamtfunktion soll stetig differenzierbar sein:
⟪(3)⟫ ⟪{: ( f_(i-1)'(t_i) , = f_i'(t_i) ), ( f_i'(t_(i+1)) , = f_(i+1)'(t_(i+1)) ) :}⟫
Die Gesamtfunktion soll zwei mal stetig differenzierbar sein:
⟪(4)⟫ ⟪{: ( f_(i-1)''(t_i) , = f_i''(t_i) , = ddot s_i ), ( f_i''(t_(i+1)) , = f_(i+1)''(t_(i+1)) , = ddot s_(i+1) ) :}⟫
2. Teilfunktionen
Wir betrachten eine Teilfunktion ⟪ f'_i(t) ⟫ mit ⟪ t in [ t_i, t_(i+1)] ⟫:
Bestimmung von fi''(t):
Die Funktion ⟪ f_i(t) ⟫ ist ein kubisches Polynom, daher ist deren erste Ableitung ⟪ f'_i(t) ⟫ quadratisch und die zweite Ableitung ⟪ f''_i(t) ⟫ (bei der Trajektorienberechnung die Beschleunigung) linear und durch ihren Wert an zwei Stellen (⟪ t_i ⟫ und ⟪ t_(i+1) ⟫) eindeutig bestimmt.
Wir benutzen die symmetrische Schreibweise:
⟪(5')⟫ ⟪ d_i := t_(i+1) - t_i ⟫
⟪(5)⟫ ⟪ f''_i(t) = (t_(i+1)-t) · ddot s_i/d_i + (t-t_i) · ddot s_(i+1)/d_i ⟫
Dabei ist ⟪ ddot s_i = f''_i(t_i) = f''_(i-1)(t_i) ⟫ die Beschleunigung am linken Rand unseres Bereiches und ⟪ ddot s_(i+1) = f''_i(t_(i+1)) = f''_(i+1)(t_(i+1)) ⟫ die Beschleunigung am rechten Rand.
Die Werte der ⟪ ddot s_i ⟫ werden weiter unten bestimmt.
Bestimmung von fi'(t):
Wir nutzen ⟪(5)⟫ und:
⟪int (t_(i+1)-t) dt = t_(i+1)t-1/2 t^2+C =-1/2 (t^2+2t t_(i+1)+t_(i+1)^2)+C+1/2 t_(i+1)^2=-1/2(t_(i+1)-t)^2+C'⟫
⟪int (t-t_i) dt = 1/2 t^2 - t_i t+C = 1/2 (t^2-2t t_i +t_i^2) +C-1/2 t_i^2 = 1/2(t-t_i )^2+C'⟫
und integrieren ⟪ f''_i(t) ⟫:
⟪ {: ( f'_i(t) , = int f''_i(t) dt ), ( , = int ( (t_(i+1)-t) · ddot s_i/d_i + (t-t_i) · ddot s_(i+1)/d_i ) dt ), ( , = int (t_(i+1)-t)dt · ddot s_i/d_i + int (t-t_i)dt · ddot s_(i+1)/d_i ), ( , = (-1/2 (t_(i+1)-t)^2+C_1) · ddot s_i/d_i + (1/2(t-t_i)^2+C_2) · ddot s_(i+1)/d_i ) :} ⟫
⟪(6)⟫ ⟪ {: ( f'_i(t) , = -1/2 (t_(i+1)-t)^2 · ddot s_i/d_i + 1/2(t-t_i)^2 · ddot s_(i+1)/d_i + C ) :} ⟫
Bestimmung von f(t):
Wir nutzen ⟪(6)⟫ und:
⟪ int -(t_(i+1)-t)^2 dt = +1/3 (t_(i+1)-t)^3 + C ⟫
⟪ int +(t - t_i)^2 dt = +1/3 (t - t_i)^3 + C ⟫
und integrieren ⟪ f'_i(t) ⟫:
⟪ {: ( f_i(t) , = int f'_i(t) dt ), ( , = int -1/2 (t_(i+1)-t)^2 · ddot s_i/d_i + 1/2(t-t_i)^2 · ddot s_(i+1)/d_i + c dt ), ( , = int -(t_(i+1)-t)^2 dt · 1/2 ddot s_i/d_i + int (t-t_i)^2 dt · 1/2 ddot s_(i+1)/d_i + int c dt ), ( , = 1/3 (t_(i+1)-t)^3 · 1/2 ddot s_i/d_i + 1/3 (t-t_i)^3 · 1/2 ddot s_(i+1)/d_i + t·p + C ), ( , = 1/6 (t_(i+1)-t)^3 · ddot s_i/d_i + 1/6 (t-t_i)^3 · ddot s_(i+1)/d_i + t·p + C ), ( , = 1/6 (t_(i+1)-t)^3 · ddot s_i/d_i + 1/6 (t-t_i)^3 · ddot s_(i+1)/d_i + (t·p - t_i·p) + (t_i·p + C) ) :} ⟫
⟪(7)⟫ ⟪ {: ( f_i(t) , = 1/6 (t_(i+1)-t)^3 · ddot s_i/d_i + 1/6 (t-t_i)^3 ddot s_(i+1)/d_i + (t-t_i)·p + q ) :} ⟫
Die Konstanten ⟪ ddot s_i ⟫, ⟪ ddot s_(i+1) ⟫, ⟪ p ⟫ und ⟪ q ⟫ sind noch unbestimmt.
Bestimmung von ⟪ p ⟫ und ⟪ q ⟫ aus den Randbedingungen von fi(t):
Zur Erfüllung der Randbedingungen ⟪ f(t_i) = s_i⟫ und ⟪ f(t_(i+1)) = s_(i+1)⟫ ⟪(2)⟫ setzen wir:
⟪ p := (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i (ddot s_(i+1) - ddot s_i) ⟫
⟪ q := s_i - 1/6 d_i^2 ddot s_i ⟫
(Herleitung durch Auflösung eines Gleichungssystems) und erhalten damit:
⟪(8)⟫ ⟪ f_i(t) = 1/6 (t_(i+1)-t)^3 · ddot s_i/d_i + 1/6 (t-t_i)^3 · ddot s_(i+1)/d_i + (t-t_i) ( (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i(ddot s_(i+1)-ddot s_i)) + s_i - 1/6 d_i^2·ddot s_i ⟫
Zur Überprüfung setzen wir ein:
⟪ {: ( f_i(t_i), = 1/6 ubrace((t_(i+1)-t_i))_(d_i)""^3 · ddot s_i/d_i + ubrace(1/6 (t_i-t_i)^3 · ddot s_(i+1)/d_i)_0 + ubrace((t_i-t_i) ( (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i (ddot s_(i+1)-ddot s_i)))_0 + s_i - 1/6d_i^2·ddot s_i ), ( , = 1/6 d_i^3 · ddot s_i/d_i + s_i - 1/6 d_i^2·ddot s_i = s_i " ✓" ) :} ⟫
⟪ {: ( f_i(t_(i+1)), = ubrace( 1/6 (t_(i+1)-t_(i+1))^3 · ddot s_i/d_i )_0 + 1/6 ubrace( (t_(i+1)-t_i) )_(d_i)""^3 · ddot s_(i+1)/d_i + ubrace( (t_(i+1)-t_i) )_(d_i) ((s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i(ddot s_(i+1)-ddot s_i)) + s_i - 1/6d_i^2·ddot s_i ), ( , = 1/6 d_i^3 · ddot s_(i+1)/d_i + d_i ( (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i (ddot s_(i+1)-ddot s_i)) + s_i - 1/6d_i^2·ddot s_i ), ( , = 1/6 d_i^2 · ddot s_(i+1) + s_(i+1) - s_i - 1/6 d_i^2 (ddot s_(i+1)-ddot s_i) + s_i - 1/6d_i^2·ddot s_i ), ( , = 1/6 d_i^2 · ddot s_(i+1) + s_(i+1) - s_i - 1/6 d_i^2·ddot s_(i+1) + 1/6 d_i^2·ddot s_i + s_i - 1/6d_i^2·ddot s_i = s_(i+1) " ✓" ) :} ⟫
Die Konstanten ⟪ ddot s_i ⟫ und ⟪ ddot s_(i+1) ⟫ sind noch unbestimmt.
3. Verbindung der Teilfunktionen
Gefordert ist in ⟪(3)⟫ die stetige Differenzierbarkeit, also ⟪ f_(i-1)'(t_i) = f_i(t_i)⟫.
Ableitung von ⟪(8)⟫ nach ⟪t⟫ ergibt:
⟪(9)⟫ ⟪ f_i'(t) = -1/2(t_(i+1)-t)^2 · ddot s_i /d_i + 1/2(t - t_i)^2 · ddot s_(i+1)/d_i + (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i(ddot s_(i+1)-ddot s_i) | i in [0..n-1] ⟫
⟪(10)⟫ ⟪ f_(i-1)'(t) = -1/2(t_i-t)^2 · ddot s_(i-1) /d_(i-1) + 1/2(t - t_(i-1))^2 · ddot s_i/d_(i-1) + (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) - 1/6 d_(i-1)(ddot s_i-ddot s_(i-1)) | i in [1..n] ⟫
Einsetzen von ⟪t_i⟫ in ⟪(9)⟫ ergibt:
⟪ {: (f_i'(t_i),=, -1/2 ubrace((t_(i+1)-t_i))_(d_i)""^2·ddot s_i/d_i + ubrace(1/2(t_i-t_i)^2·ddot s_(i+1)/d_i)_0 + (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6d_i(ddot s_(i+1)-ddot s_i) ), ( ,=, -1/2 d_i^2·ddot s_i/d_i + (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i(ddot s_(i+1)-ddot s_i) ), ( ,=, -1/2 d_i ddot s_i + (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i ddot s_(i+1) + 1/6 d_i ddot s_i ) :} ⟫
⟪(11)⟫ ⟪ {: (f_i'(t_i),=, -d_i/3 ddot s_i + (s_(i+1)-s_i)/d_i - d_i/6 ddot s_(i+1) | i in [0..n-1]) :} ⟫
Einsetzen von ⟪t_i⟫ in ⟪(10)⟫ ergibt:
⟪ {: (f_(i-1)'(t_i),=, ubrace(-1/2(t_i-t_i)^2·ddot s_(i-1)/d_(i-1))_0 + 1/2 ubrace((t_i-t_(i-1)))_(d_(t-1))""^2·ddot s_i/d_(i-1) + (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) - 1/6 d_(i-1)(ddot s_i-ddot s_(i-1)) ), ( ,=, 1/2 d_(i-1)^2·ddot s_i/d_(i-1) + (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) - 1/6 d_(i-1)(ddot s_i-ddot s_(i-1)) ), ( ,=, 1/2 d_(i-1)ddot s_i + (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) - 1/6 d_(i-1)ddot s_i + 1/6 d_(i-1)ddot s_(i-1) ) :} ⟫
⟪(12)⟫ ⟪ {: (f_(i-1)'(t_i),=, d_(i-1)/3 ddot s_i + (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) + d_(i-1)/6 ddot s_(i-1) | i in [1..n]) :} ⟫
Durch Gleichsetzung von ⟪(12)⟫ und ⟪(11)⟫ erhalten wir:
⟪ {: ( d_(i-1)/3 ddot s_i + (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) + d_(i-1)/6 ddot s_(i-1) ,=, -d_i/3 ddot s_i + (s_(i+1)-s_i)/d_i - d_i/6 ddot s_(i+1) ), ( d_(i-1)/3 ddot s_i + (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) + d_(i-1)/6 ddot s_(i-1) ,=, -d_i/3 ddot s_i + (s_(i+1)-s_i)/d_i - d_i/6 ddot s_(i+1) ), ( d_(i-1)/6 ddot s_(i-1) + ubrace(d_(i-1)/3 ddot s_i + d_i/3 ddot s_i) + d_i/6 ddot s_(i+1),=, (s_(i+1)-s_i)/d_i - (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) ) :} ⟫
⟪(13)⟫ ⟪ d_(i-1)/6 ddot s_(i-1) + (d_(i-1)+d_i)/3 ddot s_i + d_i/6 ddot s_(i+1) = (s_(i+1)-s_i)/d_i - (s_i-s_(i-1))/d_(i-1) | i in [ 1 … n-1 ] ⟫
Wir können diese Gleichungen als Gleichungssytem darstellen:
⟪(14)⟫ ⟪ [ ( ? ,? , , , , , ), ( d_0/6,(d_0+d_1)/3,d_1/6 , , , , ), ( ,ddots ,ddots ,ddots , , , ), ( , ,d_(i-1)/6,(d_(i-1)+d_i)/3,d_i/6 , , ), ( , , ,ddots ,ddots ,ddots , ), ( , , , ,d_(n-2)/6,(d_(n-2)+d_(n-1))/3,d_(n-1)/6 ), ( , , , , ,? ,? ) ] * [ ( ddot s_0 ), ( ddot s_1 ), ( vdots ), ( ddot s_i ), ( vdots ), ( ddot s_(n-1) ), ( ddot s_n ) ] = [ ( ? ), ( (s_2 - s_1) / d_i - (s_1 - s_0) / d_0 ), ( vdots ), ( (s_(i+1) - s_i) / d_i - (s_i - s_(i-1)) / d_(i-1) ), ( vdots ), ( (s_n - s_(n-1)) / d_(n-1) - (s_(n-1) - s_(n-2)) / d_(n-2) ), ( ? ) ] ⟫
4. Randbedingungen
Das Gleichungssystem hat ⟪n+1⟫ Unbekannte, aber nur ⟪n-1⟫ Gleichungen; für eine eindeutige Lösung brauchen wir also noch zwei zusätzliche Bedingungen.
Dazu können wir Werte von ⟪f_i'(t)⟫ oder ⟪f_i''(t)⟫ an zwei Stellen festlegen.
4.1. Freier Rand (natürliche Randbedingungen)
Wir legen die Krümmung der Randpunkte auf ⟪0⟫ fest (⟪f''(t_0)=0⟫, ⟪f''(t_n)=0⟫) die Randpunkte übertragen also keine "Krümmungsenergie" auf die Funktion. Damit erhalten wir die zusätzlichen Gleichungszeilen:
⟪{: ( 1 * ddot s_0 = 0 ), ( 1 * ddot s_n = 0 ) :}⟫
Diese Zeilen vollständigen das Gleichungssystem zu:
⟪(15)⟫ ⟪ [ ( 1 ,0 , , , , , ), ( d_0/6,(d_0+d_1)/3,d_1/6 , , , , ), ( ,ddots ,ddots ,ddots , , , ), ( , ,d_(i-1)/6,(d_(i-1)+d_i)/3,d_i/6 , , ), ( , , ,ddots ,ddots ,ddots , ), ( , , , ,d_(n-2)/6,(d_(n-2)+d_(n-1))/3,d_(n-1)/6 ), ( , , , , ,0 ,1 ) ] * [ ( ddot s_0 ), ( ddot s_1 ), ( vdots ), ( ddot s_i ), ( vdots ), ( ddot s_(n-1) ), ( ddot s_n ) ] = [ ( 0 ), ( (s_2 - s_1) / d_i - (s_1 - s_0) / d_0 ), ( vdots ), ( (s_(i+1) - s_i) / d_i - (s_i - s_(i-1)) / d_(i-1) ), ( vdots ), ( (s_n - s_(n-1)) / d_(n-1) - (s_(n-1) - s_(n-2)) / d_(n-2) ), ( 0 ) ] ⟫
Die Steigungen ⟪f'(t_0)⟫ und ⟪f'(t_n)⟫ an den Randpunkten ergeben sich, sie sind im allgemeinen ungleich null.
4.2. Eingespannter Rand (hermite Randbedingungen)
Wir setzen die Steigung am Randpunkt ⟪t_0⟫ fest mit ⟪f_0'(t_0)=dot s_0⟫.
⟪ dot s_0 = f_0'(t_0) = -1/2 ubrace((t_1-t_0))_(d_0)""^2 · ddot s_0/d_0 + ubrace(1/2(t_0-t_0)^2 · ddot s_1/d_0)_0 + (s_1-s_0)/d_0 - 1/6 d_0(ddot s_1-ddot s_0) ⟫
⟪ dot s_0 = ubrace(-d_0/2 · ddot s_0) + (s_1-s_0)/d_0 - d_0/6 · ddot s_1 ubrace( +d_0/6 ddot s_0) ⟫
⟪ dot s_0 = -d_0/3 · ddot s_0 + (s_1-s_0)/d_0 - d_0/6 · ddot s_1 ⟫
⟪(16)⟫ ⟪ d_0/3 · ddot s_0 + d_0/6 · ddot s_1 = (s_1-s_0)/d_0 - dot s_0 ⟫
Wir setzen die Steigung am Randpunkt ⟪t_n⟫ fest mit ⟪f_(n-1)'(t_n)=dot s_n⟫.
⟪ dot s_n = f_(n-1)'(t_n) = ubrace(-1/2(t_n-t_n)^2 · ddot s_(n-1)/d_(n-1))_0 + 1/2 ubrace((t_n-t_(n-1)))_(d_(n-1))""^2 · ddot s_n/d_(n-1) + (s_n-s_(n-1))/d_(n-1) - 1/6 d_(n-1)(ddot s_n-ddot s_(n-1)) ⟫
⟪ dot s_n = ubrace(d_(n-1)/2 · ddot s_n) + (s_n-s_(n-1))/d_(n-1) ubrace(-d_(n-1)/6 ddot s_n) + d_(n-1)/6 ddot s_(n-1) ⟫
⟪ dot s_n = d_(n-1)/3 · ddot s_n + (s_n-s_(n-1))/d_(n-1) + d_(n-1)/6 ddot s_(n-1) ⟫
⟪(17)⟫ ⟪ d_(n-1)/6 ddot s_(n-1) + d_(n-1)/3 · ddot s_n = dot s_n - (s_n-s_(n-1))/d_(n-1) ⟫
Mit ⟪(16)⟫ und ⟪(17)⟫ ergibt sich das vollständige Gleichungssystem:
⟪(18)⟫ ⟪ [ ( d_0/3,d_0/6 , , , , , ), ( d_0/6,(d_0+d_1)/3,d_1/6 , , , , ), ( ,ddots ,ddots ,ddots , , , ), ( , ,d_(i-1)/6,(d_(i-1)+d_i)/3,d_i/6 , , ), ( , , ,ddots ,ddots ,ddots , ), ( , , , ,d_(n-2)/6,(d_(n-2)+d_(n-1))/3,d_(n-1)/6 ), ( , , , , ,d_(n-1)/6 ,d_(n-1)/3 ) ] * [ ( ddot s_0 ), ( ddot s_1 ), ( vdots ), ( ddot s_i ), ( vdots ), ( ddot s_(n-1) ), ( ddot s_n ) ] = [ ( (s_1-s_0)/d_0 - dot s_0 ), ( (s_2 - s_1) / d_i - (s_1 - s_0) / d_0 ), ( vdots ), ( (s_(i+1) - s_i) / d_i - (s_i - s_(i-1)) / d_(i-1) ), ( vdots ), ( (s_n - s_(n-1)) / d_(n-1) - (s_(n-1) - s_(n-2)) / d_(n-2) ), ( dot s_n - (s_n-s_(n-1))/d_(n-1)) ] ⟫
5. Lösung des Gleichungssystems:
⟪ M · a = b ⟫
Da die Matrix ⟪M⟫ nur aus der Hauptdiagonale und zwei Nebendiagonalen besteht, ist das Gleichungssystem einfach zu lösen: wir setzen zuerst die linke Nebediagonaleund dann die rechte Nebendiagonale auf 0. Die Lösung ergibt sich dann trivial durch die elementweise Divison von ⟪b⟫ durch die Hauptdiagonalelemente von ⟪M⟫.
⟪ {: ( "intialize " M ", " b ), ( "for" \ i := 1 \ "to" \ n \ "do" ), ( quad quad quad {: ( q , := , M_{i,i-1} / M_{i-1,i-1} , ), ( M_{i,i-1} , := , M_{i,i-1} , - q * M_{i-1,i-1} = 0 ), ( M_{i,i } , := , M_{i,i } , - q * M_{i-1,i } ), ( b_{i } , := , b_{i } , - q * b_{i-1 } ) :} ), ( "endfor" ), ( "for" \ i := n-1 \ "to" \ 0 \ "do" ), ( quad quad quad {: ( q , := , M_{i,i+1} / M_{i+1,i+1} , ), ( M_{i,i+1} , := , M_{i,i+1} , - q * M_{i+1,i+1} = 0 ), ( b_{i } , := , b_{i } , - q * b_{i+1 } ) :} ), ( "endfor" ), ( "for" \ i := 0 \ "to" \ n \ "do" ), ( quad quad quad a_i := b_i / M_{i,i} ), ( "endfor" ) :} ⟫
6. Algorithmus zur Lösung der hermitschen Form
Wir suchen die Lösung des obigen linearen Gleichungssystems:
⟪ M · a = b ⟫
Da die Matrix dünn besetzt ist, speichern wir nur die Hauptdiagonale ⟪ m ⟫, die linke Nebendiagonale ⟪ l ⟫ und die rechte Nebendiagonale ⟪ r ⟫ als Vektoren mit jeweils der Größe ⟪ n ⟫:
⟪(A1)⟫ ⟪ d_i := { ( t_{i+1} - t_{i} , if 0 ≤ i ≤ n-1 "," ), ( "undefined" , if i = n "." ) :}⟫
⟪(A2)⟫ ⟪ m_i := M_{i,i} = { ( d_0 / 3 , if i = 0 "," ), ( (d_{i-1}+d_{i}) / 3 , if 1 ≤ i ≤ n-1 "," ), ( d_n / 3 , if i = n "." ) :} ⟫
⟪(A3)⟫ ⟪ l_i = M_{i,i-1} = { ( "undefined" , if i = 0 "," ), ( d_{i-1} / 6 , if 1 ≤ i ≤ n "." ) :}⟫
⟪(A4)⟫ ⟪ r_i = M_{i,i+1} = { ( d_{i} / 6 , if 0 ≤ i ≤ n-1 "," ), ( "undefined" , if i = n "." ) :}⟫
⟪(A5)⟫ ⟪ b_i := { ( (s_1 - s_0) / d_0 , - , dot s_0 , if i = 0 "," ), ( (s_{i+1} - s_i) / d_i , - , (s_i - s_{i-1}) / d_{i-1} , if 1 ≤ i ≤ n-1 "," ), ( dot s_n , - , (s_n - s_{n-1}) / d_{n-1} , if i = n "." ) :}⟫
⟪(A6)⟫ ⟪ {: ( "for" \ i := 1 \ "to" \ n \ "do" ), ( quad quad quad {: ( q , := , l_i // m_{i-1} ), ( m_i , := , m_i - q * r_{i-1} ), ( b_{i} , := , b_{i} - q * b_{i-1} ) :} ), ( "endfor" ) :} ⟫
⟪(A7)⟫ ⟪ {: ( "for" \ i := n-1 \ "to" \ 0 \ "do" ), ( quad quad quad {: ( q , := , r_{i} // m_{i+1} ), ( b_{i} , := , b_{i} - q * b_{i+1} ) :} ), ( "endfor" ) :} ⟫
⟪(A8)⟫ ⟪ {: ( "for" \ i := 0 \ "to" \ n \ "do" ), ( quad quad quad a_i := b_i // m_{i} ), ( "endfor" ) :} ⟫
7. Auswertung der Lösung
Berechnung von ⟪f(t)⟫, ⟪f'(t)⟫, ⟪f''(t)⟫ und ⟪f'''(t)⟫.
⟪(E1)⟫ ⟪ {: ( f_i(t) = , , 1/6 (t_{i+1}-t)^3 * a_{i}/d_i + 1/6 (t - t_{i})^3 * a_{i+1}/d_i ), ( , + , (t - t_{i}) * ((s_{i+1} - s_{i}) / d_i - 1/6 d_i * (a_{i+1} - a_i) ) ), ( , + , s_{i} - 1/6 d_i^2 * a_i ) :} ⟫
⟪(E2)⟫ ⟪ {: ( f_i'(t) = , -1/2 (t_{i+1} - t)^2 * a_{ i } / d_i +1/2 (t - t_{i} )^2 * a_{i+1}/d_i ), ( , + (s_{i+1} - s_i) / d_i - 1/6 d_i * (a_{i+1}-a_{i}) ) :} ⟫
⟪(E3)⟫ ⟪ {: ( f_i''(t) = , (t_{i+1} - t) * a_{i}/d_i + (t - t_{i}) * a_{i+1}/d_i ) :} ⟫
⟪(E4)⟫ ⟪ f_i'''(t) = ( a_{i+1} - a_i ) / d_i ⟫
Auswertung an Verbindungspunkten ergibt durch Einsetzen:
⟪(E5)⟫ ⟪ f_i(t_i) = s_i ⟫
⟪(E6)⟫ ⟪ f_i'(t_i) = (s_{i+1} - s_i) / d_i - d_i / 6 * (a_{i+1} + 2 * a_i) ⟫
⟪(E7)⟫ ⟪ f_i''(t_i) = a_i ⟫
⟪(E8)⟫ ⟪ f_i'''(t_i) = ( a_{i+1} - a_i ) / d_i ⟫
Auswertung mit lokaler Zeitkordinate ergibt durch Substitution:
⟪ t' := t - t_i rarr t = t' + t_i ⟫
⟪(E9)⟫ ⟪ {: ( f_i(t') = , , 1/6 (d_i-t')^3 * a_{i}/d_i + 1/6 (t')^3 * a_{i+1}/d_i ), ( , + , t' * ((s_{i+1} - s_{i}) / d_i - 1/6 d_i*(a_{i+1}-a_i))), ( , + , s_{i} - 1/6 d_i^2 * a_i ) :} ⟫
⟪(E10)⟫ ⟪ {: ( f_i'(t') = , - , 1/2 (d_i-t')^2 * a_{i}/d_i + 1/2 (t')^2 * a_{i+1}/d_i ), ( , + , (s_{i+1} - s_i) / d_i - 1/6 d_i * (a_{i+1}-a_{i}) ) :} ⟫
⟪(E11)⟫ ⟪ {: ( f_i''(t') = , , (d_{i} - t') * a_{i} / d_i + t' * a_{i+1} / d_i ) :} ⟫
⟪(E12)⟫ ⟪ f_i'''(t') = ( a_{i+1} - a_i ) / d_i ⟫
Mit den Werten an einer Stützstelle lässt sich die Funktion im folgenden Intervall lokal entwickeln:
⟪(E13)⟫ ⟪ f_i(t') = f_i(t_i) + f_i'(t_i) * t' + f_i''(t_i) * {:t':}^2/2 + f_i'''(t_i) * {:t':}^3/6 ⟫
⟪(E14)⟫ ⟪ f_i'(t') = f_i'(t_i) + f_i''(t_i) * t' + f_i'''(t_i) * {:t':}^2/2 ⟫
⟪(E15)⟫ ⟪ f_i''(t') = f_i''(t_i) + f_i'''(t_i) * t' ⟫
⟪(E16)⟫ ⟪ f_i'''(t') = f_i'''(t_i) ⟫
8. Bestimmung der Extremwerte der Funktion und ihrer Ableitungen
- Extremwerte der Funktion ⟪f(t)⟫:
Diese Funktion ist differenzierbar. Sie kann ihre Extremwerte an den Grenzen des Definitionsbereiches annehmen oder da, wo ⟪hatt_i⟫ ihre (abschnittsweise quadratische) Ableitung eine Nullstelle hat.
⟪{: ( f_i'(hatt_i) = 0 ), ( (hatt-t_ i )^2 * {:a_(i+1) / (2d_i):} - (hatt-t_(i+1))^2 * {:a_( i ) / (2d_i):} + (s_(i+1)-s_i)/d_i - 1/6 d_i * (a_(i+1)-a_i) = 0 ), ( (hatt-t_ i )^2 * a_(i+1) - (hatt-t_(i+1))^2 * a_( i ) + 2(s_(i+1)-s_i) - 1/3 d_i^2 * (a_(i+1)-a_i) = 0 ), ( ubrace(+ hatt^2 a_(i+1))_1 ubrace(- 2 hatt t_( i ) a_(i+1))_2 ubrace(+ t_( i )^2 a_(i+1))_3 ubrace(- hatt^2 a_( i ))_1 ubrace(+ 2 hatt t_(i+1) a_( i ))_2 ubrace(- t_(i+1)^2 a_( i ))_3 + 2(s_(i+1)-s_i) - 1/3 d_i^2 * (a_(i+1)-a_i) = 0 ), ( ubrace( hatt^2 * (a_(i+1) - a_i))_1 ubrace(+ 2 hatt * (t_(i+1) a_( i ) - t_( i ) a_(i+1)))_2 ubrace( + t_( i )^2 a_(i+1) - t_(i+1)^2 a_( i ))_3 + 2 (s_(i+1) - s_i) - 1/3 d_i^2 * (a_(i+1)-a_i) = 0 ) :}⟫
Bei ⟪a_(i+1) ne a_i⟫ ergibt sich eine quadratische Gleichung:
⟪{: ( hatt^2 * cancel( (a_(i+1) - a_i) / (a_(i+1) - a_i)) + 2 hatt * {:(t_(i+1) a_( i ) - t_( i ) a_(i+1)) / (a_(i+1) - a_i):} + ( t_( i )^2 a_(i+1) - t_(i+1)^2 a_( i ) + 2 (s_(i+1) - s_i )) / (a_(i+1) - a_i) - 1/3 d_i^2 * cancel( (a_(i+1) - a_i) / (a_(i+1) - a_i)) = 0 ), ( hatt^2 + 2 hatt * ubrace( (t_(i+1) a_( i ) - t_( i ) a_(i+1)) / (a_(i+1) - a_i) )_b + ubrace( ( t_( i )^2 a_(i+1) - t_(i+1)^2 a_( i ) + 2 (s_(i+1) - 2 s_i) ) / (a_(i+1) - a_i) - 1/3 d_i^2 )_c = 0 ), ( hatt^2 + 2 hatt b + c = 0 ), ( hatt^2 + 2 hatt b + b^2 = b^2 - c ), ( (hatt + b)^2 = b^2 - c ), ( hatt + b = ± sqrt( b^2 - c) ), ( hatt = ± sqrt( b^2 - c) - b ) :}⟫
Bei ⟪a_(i+1) = a_i != 0⟫ ergibt sich eine lineare Gleichung:
⟪{: ( cancel( hatt^2 * (a_(i+1) - a_i)) + 2 hatt * (t_(i+1) a_( i ) - t_( i ) a_(i+1)) + t_( i )^2 a_(i+1) - t_(i+1)^2 a_( i ) + 2 (s_(i+1) - s_i) cancel(- 1/3 d_i^2 * (a_(i+1)-a_i)) = 0 ), ( hatt * 2(t_(i+1) - t_(i)) a_i + ( t_(i)^2 - t_(i+1)^2 ) a_i + 2 (s_(i+1) - s_i) = 0 ), ( hatt * 2(t_(i+1) - t_(i)) a_i = ( t_(i+1)^2 - t_(i)^2 ) a_i + 2 (s_i - s_(i+1)) ), ( hatt = ( (t_(i+1)^2 - t_i^2) a_i + 2 (s_i - s_(i+1)) ) / (2 (t_(i+1) - t_i) a_i) ) :}⟫
Bei ⟪a_(i+1) = a_i = 0⟫ ist ⟪f_i'(t)⟫ konstant, die Extrema werden also auch auf den Stützstellen angenommen.
Zusammen erhalten wir für die Extrema von ⟪f(t)⟫:
⟪(F1)⟫ ⟪ underset(0 le t le t_n)(max)f(t) = max {( f_i(t_i), i le 0 le n ),( f_i(hatt_i), i le 0 lt n if a_i != a_(i+1) ∧ t_i le hatt_i le t_(i+1) ),( , "wo" quad hatt_i in ± sqrt( b_i^2 - c_i) - b_i ),( , "wo" quad b_i = (t_(i+1) a_( i ) - t_( i ) a_(i+1)) / (a_(i+1) - a_i) ),( , "wo" quad c_i = ( t_( i )^2 a_(i+1) - t_(i+1)^2 a_( i ) + 2(s_(i+1)-s_i) ) / (a_(i+1) - a_i) - 1/3 d_i^2 ),( f_i(hatt_i), i le 0 lt n if a_(i+1) = a_i != 0 ∧ t_i le hatt_i le t_(i+1) ),( , "wo" quad hatt_i = ( (t_(i+1)^2 - t_i^2) a_i + 2(s_i - s_(i+1))) / ( 2(t_(i+1) - t_i) a_i) ):} ⟫
- Extremwerte der ersten Ableitung ⟪f'(t)⟫:
Diese Funktion ist differenzierbar. Sie kann ihre Extremwerte an den Grenzen des Definitionsbereiches annehmen oder da, wo die (lineare) Ableitung einer ihrer Teilfunktionen eine Nullstelle hat.
⟪ {: ( f_i''(hatt_i) = 0 ), ( (t_{i+1} - hatt_i) * a_{i } / d_i + (hatt_i - t_{i} ) * a_{i+1} / d_i = 0 ), ( (t_{i+1} - hatt_i) * a_i + (hatt_i - t_{i} ) * a_{i+1} = 0 ), ( hatt_i· a_(i+1) - hatt_i·a_i = t_i·a_(i+1) - t_(i+1)·a_i ), ( hatt_i·(a_(i+1) - a_i) = t_i·a_(i+1) - t_(i+1)·a_i ), ( hatt_i = (t_i·a_(i+1) - t_(i+1)·a_i) / (a_(i+1)-a_i) ) :} ⟫
Bei ⟪a_(i+1) = a_i⟫ ist ⟪f_i''(t)⟫ konstant, die Extrema werden also auch auf den Stützstellen angenommen.
Damit erhalten wir für die Extrema von ⟪f'(t)⟫:
⟪(F2)⟫ ⟪ underset(0 le t le t_n)(max)f'(t) = max {( f_i'(t_i), i le 0 le n ),( f_i'(hatt_i), i le 0 lt n if a_i != a_(i+1) ∧ t_i le hatt_i le t_(i+1) ),( , "wo" quad hatt_i := (t_i·a_(i+1)-t_(i+1)·a_i) / (a_(i+1)-a_i) ):} ⟫
- Extremwerte der zweiten Ableitung ⟪f''(t)⟫:
Diese Funktion ist in jedem Segment linear; es reicht also, die Stützstellen zu betrachten.
⟪(F3)⟫ ⟪underset(0 le t le t_n)("max") f''(t)="max"{f_i''(t_i), 0 le i le n}⟫
- Extremwerte der dritten Ableitung ⟪f'''(t)⟫:
Diese Funktion ist in jedem Segment konstant; es reicht also, die Stützstellen zu betrachten.
⟪(F4)⟫ ⟪underset(0 le t le t_n)("max") f'''(t)="max"{f_i'''(t_i), 0 le i lt n}⟫
Die Berechnung des jeweiligen Minimums erfolgt identisch.