Lineare Funktionen sind Funktionen der Form:
f(x) = k1·x + k0
Die Summe zweier linearer Funktionen und das Produkt mit einer Konstanten sind wieder lineare Funktionen.
Wir legen die Funktion fest durch zwei Punkt f(a) = A und f(b) = B mit a ≠ b.
^ | ----- B + --*-- | ----- · Δy + --*-- · | ----- · · A +---- · · ----| · · | · · ----+-----------*---------*------> a Δx b
Um die Parameter k1 und k0 zu bestimmen, setzen wir ein:
f(b) = k1·b + k0 = B (Gleichung 1) f(a) = k1·a + k0 = A (Gleichung 2)
Subtrahieren wir (Gleichung 1) · a von (Gleichung 2) · b, so erhalten wir:
k1·a·b - k1·b·a + k0 · b - k0 · a = A · b - B · a k0 · (b - a) = (A · b - B · a) k0 = (A · b - B · a) / (b - a)
Wegen a ≠ b ist die Division erlaubt.
Damit haben wir:
f(x) = k1·x + k0 = (B-A)/(b-a) · x + (A·b - B·a) / (b-a)
Wegen f(0) = k1·0 + k0 = k0 ist k0 der y-Wert des Schnittes der Gerade mit der Hochachse.
k0 = f(0)
Subtrahieren wir (Gleichung 2) von (Gleichung 1), so erhalten wir:
k1·b - k1·a + k0 - k0 = B - A k1 · ( b - a ) = B - A k1 = (B - A) / (b - a) k1 = Δy / Δx
Wegen a ≠ b ist die Division erlaubt.
k1 ist die die Steigung der Gerade.
k1 = f'(0)
f(x) = f'(0) · x + f(0)
f(a) = (B-A)/(b-a) · a + (A·b - B·a) / (b-a) = (B·a - A·a + A·b - B·a ) / (b-a) = ( - A·a + A·b ) / (b-a) = A · (b-a) / (b-a) = A f(b) = (B-A)/(b-a) · b + (A·b - B·a) / (b-a) = (B·b - A·b + A·b - B·a ) / (b-a) = (B·b - B·a ) / (b-a) = B · (b-a) / (b-a) = B
Eine linare Funktion lässt sich auch anders darstellen:
f(x) = (b-x) · A/Δx + (x-a) · B/Δx
Die Funktion ist offensichtlich linear, die Korrektheit ergibt sich durch Einsetzen:
f(a) = (b-a) · A/Δx + (a-a) · B/Δx = Δx · A/Δx + 0 · B/Δx = A f(b) = (b-b) · A/Δx + (b-a) · B/Δx = 0 · A/Δx + Δx · B/Δx = B
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