Bestimme Parabel durch drei Punkte

Wir wollen eine Parabel finden, die durch drei gegebene Punkte ⟪P_1(x_1, y_1)⟫, ⟪P_2(x_2, y_2)⟫, ⟪P_3(x_3, y_3)⟫ führt.

y₁ y₂ y₃ x₁ x₂ x₃ P₁ P₂ P₃
⟪f(x)=ax²+bx+c⟫

Gesucht ist eine quadratische Funktion der Form ⟪f(x)=ax²+bx+c⟫ mit ⟪f(x_1)=y_1⟫, ⟪f(x_2)=y_2⟫, ⟪f(x_3)=y_3⟫.

Ausgeschrieben wird daraus:

⟪f(x_1)=ax_1²+bx_1+c = y_1⟫
⟪f(x_2)=ax_2²+bx_2+c = y_2⟫
⟪f(x_3)=ax_3²+bx_3+c = y_3⟫

Das lineare(!) Gleichungssystem lässt sich in Matrix-Form schreiben:

⟪( (x_1², x_1, 1 ), (x_2², x_2, 1), (x_3², x_3, 1) ) · ( (a), (b), (c) ) = ( (y_1), (y_2), (y_3) )⟫

Wir bestimmen die Determinante der Matrix:

⟪ d := x_1²x_2 + x_2²x_3 + x_3²x_1 - x_1²x_3 - x_2²x_1 - x_3²x_2 ⟫

Die Determinante ist genau dann ungleich 0, wenn alle ⟪x⟫-Werte unterschiedlich sind. Anderenfalls ist das Gleichungssystem unterbestimmt und hat mehrere Lösungen oder keine.

Wenn die Determinante ungleich 0 ist, können wir die eindeutige Lösung berechnen:

⟪a := (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1 - y_1x_3 - y_2x_1 - y_3x_2) / d⟫

⟪b := (x_1²y_2 + x_2²y_3 + x_3²y_1 - x_1²y_3 - x_2²y_1 - x_3²y_2) / d⟫

⟪c := (x_1²x_2y_3 + x_2²x_3y_1 + x_3²x_1y_2 - x_1²x_3y_2 - x_2²x_1y_3 - x_3²x_2y_1) / d⟫