Polygon-Trägheitsmoment nach linearer Transformation

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Das Trägheitsmoment für ein Polygon wird berechnet als:

⟪ I = sum_(i=0)^(n-1) I_i = 1/12 * sum_(i=0)^(n-1) (x_i-x_(i+1)) * ( y_(i+1)2 + y_i^2 ) * (y_(i+1) + y_i) ⟫

Wir wollen das Trägheitsmoment nach einer linearen Abbildung des Polygons berechnen:

⟪ ( (a, b, c), (d, e, f), (0, 0, 1)) * ((x), (y), (1)) = ((a*x + b*y + c), (d*x + e*y + f), (1)) = ((x'), (y'), (1)) ⟫

In die Gleichung

⟪ I = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) I_i = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) (x'_i - x'_(i+1)) * ( y'_i^2 + y'_(i+1)^2 ) * ( y'_i + y'_(i+1) ) ⟫

setzen wir ⟪ x' = a*x + b*y + c ⟫ und ⟪ y' = d*x + e*y + f ⟫ ein:

⟪ = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) ( ( ( [a*x_i + b*y_i + c] - [a*x_(i+1) + b*y_(i+1) + c] ) ), ( * ), ( ( [d*x_i + e*y_i + f]^2 + [d*x_(i+1) + e*y_(i+1) + f]^2 ) ), ( * ), ( ( [d*x_i + e*y_i + f] + [d*x_(i+1) + e*y_(i+1) + f] ) ) ) ⟫

⟪ = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) ( ( ( a*x_i + b*y_i - a*x_(i+1) - b*y_(i+1) ) ), ( * ), ([{: ( d^2 * x_i^2 + e^2 * y_i^2 + f^2 + 2*de*x_i *y_i + 2*df*x_i + 2*ef * y_i + ), ( d^2 * x_(i+1)^2 + e^2 * y_(i+1)^2 + f^2 + 2*de*x_(i+1)*y_(i+1) + 2*df*x_(i+1) + 2*ef * y_(i+1) ) :}]), ( * ), ( ( d*x_i + d*x_(i+1) + e*y_i + e*y_(i+1) + 2f ) ) ) ⟫

Und multiplizieren aus (zur Kontrolle: es entstehen 4 × 12 × 5 = 240 Summanden):

⟪ = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) ({: ( ad^3x_i^4 +ad^3x_i^3x_(i+1) +ad^2ex_i^3y_i +ad^2ex_i^3y_(i+1) +2ad^2fx_i^3 ), ( +ade^2x_i^2y_i^2 +ade^2x_ix_(i+1)y_i^2 +ae^3x_iy_i^3 +ae^3x_iy_i^2y_(i+1) +2ae^2fx_iy_i^2 ), ( +adf^2x_i^2 +adf^2x_ix_(i+1) +aef^2x_iy_i +aef^2x_iy_(i+1) +2af^3x_i ), ( +2ad^2ex_i^3y_i +2ad^2ex_i^2x_(i+1)y_i +2ade^2x_i^2y_i^2 +2ade^2x_i^2y_iy_(i+1) +4adefx_i^2y_i ), ( +2ad^2fx_i^3 +2ad^2fx_i^2x_(i+1) +2adefx_i^2y_i +2adefx_i^2y_(i+1) +4adf^2x_i^2 ), ( +2adefx_i^2y_i +2adefx_ix_(i+1)y_i +2ae^2fx_iy_i^2 +2ae^2fx_iy_iy_(i+1) +4aef^2x_iy_i ), ( +ad^3x_i^2x_(i+1)^2 +ad^3x_ix_(i+1)^3 +ad^2ex_ix_(i+1)^2y_i +ad^2ex_ix_(i+1)^2y_(i+1) +2ad^2fx_ix_(i+1)^2 ), ( +ade^2x_i^2y_(i+1)^2 +ade^2x_ix_(i+1)y_(i+1)^2 +ae^3x_iy_iy_(i+1)^2 +ae^3x_iy_(i+1)^3 +2ae^2fx_iy_(i+1)^2 ), ( +adf^2x_i^2 +adf^2x_ix_(i+1) +aef^2x_iy_i +aef^2x_iy_(i+1) +2af^3x_i ), ( +2ad^2ex_i^2x_(i+1)y_(i+1) +2ad^2ex_ix_(i+1)^2y_(i+1) +2ade^2x_ix_(i+1)y_iy_(i+1) +2ade^2x_ix_(i+1)y_(i+1)^2 +4adefx_ix_(i+1)y_(i+1) ), ( +2ad^2fx_i^2x_(i+1) +2ad^2fx_ix_(i+1)^2 +2adefx_ix_(i+1)y_i +2adefx_ix_(i+1)y_(i+1) +4adf^2x_ix_(i+1) ), ( +2adefx_i^2y_(i+1) +2adefx_ix_(i+1)y_(i+1) +2ae^2fx_iy_iy_(i+1) +2ae^2fx_iy_(i+1)^2 +4aef^2x_iy_(i+1) ), ( +bd^3x_i^3y_i +bd^3x_i^2x_(i+1)y_i +bd^2ex_i^2y_i^2 +bd^2ex_i^2y_iy_(i+1) +2bd^2fx_i^2y_i ), ( +bde^2x_iy_i^3 +bde^2x_(i+1)y_i^3 +be^3y_i^4 +be^3y_i^3y_(i+1) +2be^2fy_i^3 ), ( +bdf^2x_iy_i +bdf^2x_(i+1)y_i +bef^2y_i^2 +bef^2y_iy_(i+1) +2bf^3y_i ), ( +2bd^2ex_i^2y_i^2 +2bd^2ex_ix_(i+1)y_i^2 +2bde^2x_iy_i^3 +2bde^2x_iy_i^2y_(i+1) +4bdefx_iy_i^2 ), ( +2bd^2fx_i^2y_i +2bd^2fx_ix_(i+1)y_i +2bdefx_iy_i^2 +2bdefx_iy_iy_(i+1) +4bdf^2x_iy_i ), ( +2bdefx_iy_i^2 +2bdefx_(i+1)y_i^2 +2be^2fy_i^3 +2be^2fy_i^2y_(i+1) +4bef^2y_i^2 ), ( +bd^3x_ix_(i+1)^2y_i +bd^3x_(i+1)^3y_i +bd^2ex_(i+1)^2y_i^2 +bd^2ex_(i+1)^2y_iy_(i+1) +2bd^2fx_(i+1)^2y_i ), ( +bde^2x_iy_iy_(i+1)^2 +bde^2x_(i+1)y_iy_(i+1)^2 +be^3y_i^2y_(i+1)^2 +be^3y_iy_(i+1)^3 +2be^2fy_iy_(i+1)^2 ), ( +bdf^2x_iy_i +bdf^2x_(i+1)y_i +bef^2y_i^2 +bef^2y_iy_(i+1) +2bf^3y_i ), ( +2bd^2ex_ix_(i+1)y_iy_(i+1) +2bd^2ex_(i+1)^2y_iy_(i+1) +2bde^2x_(i+1)y_i^2y_(i+1) +2bde^2x_(i+1)y_iy_(i+1)^2 +4bdefx_(i+1)y_iy_(i+1) ), ( +2bd^2fx_ix_(i+1)y_i +2bd^2fx_(i+1)^2y_i +2bdefx_(i+1)y_i^2 +2bdefx_(i+1)y_iy_(i+1) +4bdf^2x_(i+1)y_i ), ( +2bdefx_iy_iy_(i+1) +2bdefx_(i+1)y_iy_(i+1) +2be^2fy_i^2y_(i+1) +2be^2fy_iy_(i+1)^2 +4bef^2y_iy_(i+1) ), ( -ad^3x_i^3x_(i+1) -ad^3x_i^2x_(i+1)^2 -ad^2ex_i^2x_(i+1)y_i -ad^2ex_i^2x_(i+1)y_(i+1) -2ad^2fx_i^2x_(i+1) ), ( -ade^2x_ix_(i+1)y_i^2 -ade^2x_(i+1)^2y_i^2 -ae^3x_(i+1)y_i^3 -ae^3x_(i+1)y_i^2y_(i+1) -2ae^2fx_(i+1)y_i^2 ), ( -adf^2x_ix_(i+1) -adf^2x_(i+1)^2 -aef^2x_(i+1)y_i -aef^2x_(i+1)y_(i+1) -2af^3x_(i+1) ), ( -2ad^2ex_i^2x_(i+1)y_i -2ad^2ex_ix_(i+1)^2y_i -2ade^2x_ix_(i+1)y_i^2 -2ade^2x_ix_(i+1)y_iy_(i+1) -4adefx_ix_(i+1)y_i ), ( -2ad^2fx_i^2x_(i+1) -2ad^2fx_ix_(i+1)^2 -2adefx_ix_(i+1)y_i -2adefx_ix_(i+1)y_(i+1) -4adf^2x_ix_(i+1) ), ( -2adefx_ix_(i+1)y_i -2adefx_(i+1)^2y_i -2ae^2fx_(i+1)y_i^2 -2ae^2fx_(i+1)y_iy_(i+1) -4aef^2x_(i+1)y_i ), ( -ad^3x_ix_(i+1)^3 -ad^3x_(i+1)^4 -ad^2ex_(i+1)^3y_i -ad^2ex_(i+1)^3y_(i+1) -2ad^2fx_(i+1)^3 ), ( -ade^2x_ix_(i+1)y_(i+1)^2 -ade^2x_(i+1)^2y_(i+1)^2 -ae^3x_(i+1)y_iy_(i+1)^2 -ae^3x_(i+1)y_(i+1)^3 -2ae^2fx_(i+1)y_(i+1)^2 ), ( -adf^2x_ix_(i+1) -adf^2x_(i+1)^2 -aef^2x_(i+1)y_i -aef^2x_(i+1)y_(i+1) -2af^3x_(i+1) ), ( -2ad^2ex_ix_(i+1)^2y_(i+1) -2ad^2ex_(i+1)^3y_(i+1) -2ade^2x_(i+1)^2y_iy_(i+1) -2ade^2x_(i+1)^2y_(i+1)^2 -4adefx_(i+1)^2y_(i+1) ), ( -2ad^2fx_ix_(i+1)^2 -2ad^2fx_(i+1)^3 -2adefx_(i+1)^2y_i -2adefx_(i+1)^2y_(i+1) -4adf^2x_(i+1)^2 ), ( -2adefx_ix_(i+1)y_(i+1) -2adefx_(i+1)^2y_(i+1) -2ae^2fx_(i+1)y_iy_(i+1) -2ae^2fx_(i+1)y_(i+1)^2 -4aef^2x_(i+1)y_(i+1) ), ( -bd^3x_i^3y_(i+1) -bd^3x_i^2x_(i+1)y_(i+1) -bd^2ex_i^2y_iy_(i+1) -bd^2ex_i^2y_(i+1)^2 -2bd^2fx_i^2y_(i+1) ), ( -bde^2x_iy_i^2y_(i+1) -bde^2x_(i+1)y_i^2y_(i+1) -be^3y_i^3y_(i+1) -be^3y_i^2y_(i+1)^2 -2be^2fy_i^2y_(i+1) ), ( -bdf^2x_iy_(i+1) -bdf^2x_(i+1)y_(i+1) -bef^2y_iy_(i+1) -bef^2y_(i+1)^2 -2bf^3y_(i+1) ), ( -2bd^2ex_i^2y_iy_(i+1) -2bd^2ex_ix_(i+1)y_iy_(i+1) -2bde^2x_iy_i^2y_(i+1) -2bde^2x_iy_iy_(i+1)^2 -4bdefx_iy_iy_(i+1) ), ( -2bd^2fx_i^2y_(i+1) -2bd^2fx_ix_(i+1)y_(i+1) -2bdefx_iy_iy_(i+1) -2bdefx_iy_(i+1)^2 -4bdf^2x_iy_(i+1) ), ( -2bdefx_iy_iy_(i+1) -2bdefx_(i+1)y_iy_(i+1) -2be^2fy_i^2y_(i+1) -2be^2fy_iy_(i+1)^2 -4bef^2y_iy_(i+1) ), ( -bd^3x_ix_(i+1)^2y_(i+1) -bd^3x_(i+1)^3y_(i+1) -bd^2ex_(i+1)^2y_iy_(i+1) -bd^2ex_(i+1)^2y_(i+1)^2 -2bd^2fx_(i+1)^2y_(i+1) ), ( -bde^2x_iy_(i+1)^3 -bde^2x_(i+1)y_(i+1)^3 -be^3y_iy_(i+1)^3 -be^3y_(i+1)^4 -2be^2fy_(i+1)^3 ), ( -bdf^2x_iy_(i+1) -bdf^2x_(i+1)y_(i+1) -bef^2y_iy_(i+1) -bef^2y_(i+1)^2 -2bf^3y_(i+1) ), ( -2bd^2ex_ix_(i+1)y_(i+1)^2 -2bd^2ex_(i+1)^2y_(i+1)^2 -2bde^2x_(i+1)y_iy_(i+1)^2 -2bde^2x_(i+1)y_(i+1)^3 -4bdefx_(i+1)y_(i+1)^2 ), ( -2bd^2fx_ix_(i+1)y_(i+1) -2bd^2fx_(i+1)^2y_(i+1) -2bdefx_(i+1)y_iy_(i+1) -2bdefx_(i+1)y_(i+1)^2 -4bdf^2x_(i+1)y_(i+1) ), ( -2bdefx_iy_(i+1)^2 -2bdefx_(i+1)y_(i+1)^2 -2be^2fy_iy_(i+1)^2 -2be^2fy_(i+1)^3 -4bef^2y_(i+1)^2 ) :}) ⟫

Wir fassen gleiche Terme in den Variablen ⟪ x_i ⟫, ⟪ x_(i+1) ⟫, ⟪ y_i ⟫ und ⟪ y_(i+1)⟫ zusammen:

⟪ = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) ({: ( , 6 , (aef^2 - bdf^2) , (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) ), ( + , 4 , (adef - bd^2f) , (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (x_i+x_(i+1)) ), ( + , 4 , (ae^2f - bdef ) , (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (y_i+y_(i+1)) ), ( + , , (ad^2e - bd^3 ) , (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (x_i^2+x_ix_(i+1)+x_(i+1)^2) ), ( + , , (ae^3 - bde^2) , (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (y_i^2+y_iy_(i+1)+y_(i+1)^2) ), ( + , , (ade^2 - bd^2e) , (2 y_iy_(i+1) * (x_i^2 - x_(i+1)^2) + 2 x_ix_(i+1) * (y_(i+1)^2 - y_i^2) + x_i^2y_(i+1)^2 - x_(i+1)^2y_i^2) ) :}) ⟫

Und ziehen die Konstanten aus der Summe:

⟪ = ({: ( , (ae-bd) (f^2), * , 1/2 , sum_(i=0)^(n-1) (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) ), ( + , (ae-bd) (df) , * , 1/3 , sum_(i=0)^(n-1) (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (x_i+x_(i+1)) ), ( + , (ae-bd) (ef) , * , 1/3 , sum_(i=0)^(n-1) (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (y_i+y_(i+1)) ), ( + , (ae-bd) (d^2), * , 1/12 , sum_(i=0)^(n-1) (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (x_i^2+x_ix_(i+1)+x_(i+1)^2) ), ( + , (ae-bd) (e^2), * , 1/12 , sum_(i=0)^(n-1) (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (y_i^2+y_iy_(i+1)+y_(i+1)^2) ), ( + , (ae-bd) (de) , * , 1/12 , sum_(i=0)^(n-1) (2 y_iy_(i+1) * (x_i^2 - x_(i+1)^2) + 2 x_ix_(i+1) * (y_(i+1)^2 - y_i^2) + x_i^2y_(i+1)^2 - x_(i+1)^2y_i^2) ) :}) ⟫

Nachdem die sechs Summen einmalig aus den Koordinaten der Polygonecken berechnet wurden, kann das Trägheitsmoment des Polygons nach einer linearen Abbildungen unabhängig von der Zahl der Polygonecken in konstanter Zeit berechnet werden.

⟪ square ⟫

Beobachtung: bei der Identitätsabbildung ( ⟪ a=e=1, b=c=d=f=0 ⟫ ) reduziert sich die Formel auf den fünften Term:

⟪ = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * (y_i^2+y_iy_(i+1)+y_(i+1)^2) ⟫

in Übereinstimmung mit der Basisgleichung.