Berechnung des Trägheitsmomentes eines Polygons

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Das Trägheitsmoment wird berechnet als Integral über die Dichte multipliziert mit dem Quadrat der Entfernung von der Rotationsachse:

⟪ I = int_V vec r_(_|_)^2 rho(vec r) dV ⟫

Wir betrachten eine Fläche mit der konstanten Flächendichte ⟪1⟫. Damit vereinfacht sich die Formel zu:

⟪ I = int_A vec r_(_|_)^2 dA ⟫

Als Teilaufgabe betrachten wir ein Trapez, dessen eine Achse mit der X-Achse übereinstimmt und dessen zwei weitere Achsen parallel zur Y-Achse sind. Das Trapez ist durch die zwei Punkte ⟪(x_1, y_1)⟫ und ⟪(x_2, y_2)⟫ festgelegt:

                           ··+ y₂
                     ······  |
                ·····        |
           ·····             |
      ·····                  |
y₁ +··                       |
   |                         |
   |                         |
   |                         |
   |                         |
   |                         |
0 -+-------------------------+-
   x₁                        x₂

Das Trapez wird beschrieben durch:

⟪ f(x) = y_1 + (x-x_1) * (y_2-y_1) / (x_2-x_1) ⟫

Mit ⟪ Delta x := x_2-x_1 ⟫ und ⟪ Delta y := y_2-y_1 ⟫ und s := ⟪ Delta y // Delta x ⟫ ergibt sich:

⟪ f(x) = y_1 + s * (x-x_1) ⟫

Das Trägheitsmoment dieser Fläche berechnet sich zu:

⟪ I_i = int_(x=x_1)^(x_2) int_(y=0)^(f(x)) y^2 dy dx ⟫

⟪ I_i = int_(x=x_1)^(x_2) 1/3*[y^3]_(y=0)^(f(x)) dx ⟫

⟪ I_i = 1/3 * int_(x=x_1)^(x_2) f(x)^3 dx ⟫

Wir substituieren ⟪ x ⟫ für ⟪ x+x_1 ⟫:

⟪ I_i = 1/3 * int_(x=0)^(x_2-x_1) f(x+x_1)^3 dx ⟫

⟪ I_i = 1/3 * int_(x=0)^(Delta x) (y_1 + s*x)^3 dx ⟫

⟪ I_i = 1/3 * int_(x=0)^(Delta x) ( y_1^3 + 3*y_1^2*s*x + 3*y_1*s^2*x^2 + s^3*x^3 ) dx ⟫

⟪ I_i = 1/3 * [ int_(x=0)^(Delta x) y_1^3 dx + int_(x=0)^(Delta x) 3 * y_1^2 * s * x dx + int_(x=0)^(Delta x) 3 * y_1 * s^2 * x^2 dx + int_(x=0)^(Delta x) s^3 * x^3 dx ] ⟫

⟪ I_i = 1/3 * [ y_1^3 * Deltax + 3 * y_1^2 * s * 1/2 * Deltax^2 + 3 * y_1 * s^2 * 1/3 * Deltax^3 + s^3 * 1/4 * Deltax^4 ] ⟫

⟪ I_i = 1/12 * Deltax * [ 4 * y_1^3 + 6 * y_1^2 * s * Deltax + 4 * y_1 * s^2 * Deltax^2 + s^3 * Deltax^3 ] ⟫

⟪ I_i = 1/12 * Deltax * [ 4 * y_1^3 + 6 * y_1^2 * Deltay + 4 * y_1 * Deltay^2 + Deltay^3 ] ⟫

⟪ I_i = 1/12 * Deltax * [ 4 * y_1^3 + 6 * y_1^2 * (y_2-y_1) + 4 * y_1 * (y_2-y_1)^2 + (y_2-y_1)^3 ] ⟫

⟪ I_i = 1/12 * Deltax * [ 4 * y_1^3 +6 * y_2*y_1^2 -6 * y_1^3 4 * y_2^2y_1 -8 * y_2*y_1^2 +4 * y_1^3 + y_2^3 -3 * y_2^2y_1 +3 * y_2*y_1^2 - y_1^3 ] ⟫

⟪ I_i = 1/12 * Deltax * [ y_2^3 + y_2^2y_1 + y_2*y_1^2 + y_1^3 ] ⟫

⟪ I_i = 1/12 * Deltax * ( y_2^2 + y_1^2 ) * (y_2 + y_1) ⟫

Wir drehen das Vorzeichen von ⟪ Deltax ⟫, damit bei einem Polygon mit positiver Fläche (entgegen dem Uhrzeigersinn) auch das Trägheitsmoment positiv ist:

⟪ R_i = 1/12 (x_1-x_2) * ( y_2^2 + y_1^2 ) * (y_2 + y_1) ⟫

Und summieren über alle Teilflächen (⟪ y_n := y_0 ", " x_n := x_0 ⟫):

⟪ I = sum_(i=0)^(n-1) I_i = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) (x_i-x_(i+1)) * ( y_(i+1)^2 + y_i^2 ) * (y_(i+1) + y_i) \ \ square ⟫

Wegen ⟪ AA g sum_(i=0)^(n-1) g(x_i, y_i) = sum_(i=0)^(n-1) g(x_(i+1), y_(i+1)) ⟫ lässt sich dies auch schreiben als:

⟪ I = sum_(i=0)^(n-1) I_i = 1/12 sum_(i=0)^(n-1) (x_iy_(i+1)-x_(i+1)y_i) * ( y_(i+1)^2 + y_(i+1)y_i + y_i^2 ) \ \ square ⟫