Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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← N  0.000000°
E  0.000000°		 ← 20 015.087 km → N  0.000000°
E180.000000°		 →
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9 457.254 km
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9 457.254 km
↓
S 85.051129°
E  0.000000°		 ← 1 726.636 km →
127 040 747 km²		 S 85.051129°
E180.000000°
     

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 1 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75 y=0.75 und der Vergrößerungsstufe zoom=1 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75 × 21)
    floor (0.75 × 2)
    floor (1.5)     		tx = 1
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75 × 21)
    floor (0.75 × 2)
    floor (1.5)     		ty = 1
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 1 / 1 / 1 ti = "1/1/1"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/1/1/1.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1 ÷ 21
    1 ÷ 2     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1 ÷ 21
    1 ÷ 2     		y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675     		φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1 KachelY 1 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 2 KachelY 1 3.14159265 0.00000000 180.000000 0.000000
    Unten links KachelX 1 KachelY + 1 2 0.00000000 -1.48442223 0.000000 -85.051129
    Unten rechts KachelX + 1 2 KachelY + 1 2 3.14159265 -1.48442223 180.000000 -85.051129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00000000--1.48442223) × R
    1.48442223 × 6371000     		dl = 9457254.02733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00000000--1.48442223) × R
    1.48442223 × 6371000     		dr = 9457254.02733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-3.14159265) × cos(0.00000000) × R
    3.14159265 × 1 × 6371000     		do = 20015086.77315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-3.14159265) × cos(-1.48442223) × R
    3.14159265 × 0.0862667380803361 × 6371000     		du = 1726636.24831453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00000000)-sin(-1.48442223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(1-0.0862667380803361)×R²
    abs(3.14159265-0.00000000)×0.913733261919664×R²
    3.14159265×0.913733261919664×6371000²
    3.14159265×0.913733261919664×40589641000000     		ar = 127040747466638m²