Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1000 / 1000
↖ ↑ ↗
← N  4.214943°
W  4.218750°		 ← 19.493 km → N  4.214943°
W  4.042969°		 →
↑
19.495 km
↓
↑
19.495 km
↓
N  4.039618°
W  4.218750°		 ← 19.497 km →
380.067 km²		 N  4.039618°
W  4.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488525390625 y=0.488525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488525390625 × 211)
    floor (0.488525390625 × 2048)
    floor (1000.5)     		tx = 1000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488525390625 × 211)
    floor (0.488525390625 × 2048)
    floor (1000.5)     		ty = 1000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1000 / 1000 ti = "11/1000/1000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1000/1000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1000 ÷ 211
    1000 ÷ 2048     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1000 ÷ 211
    1000 ÷ 2048     		y = 0.48828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48828125 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(1.07640962084785)-π/2
    2×0.822180481197209-π/2
    1.64436096239442-1.57079632675     		φ = 0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1000 KachelY 1000 -0.07363108 0.07356464 -4.218750 4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 1001 KachelY 1000 -0.07056312 0.07356464 -4.042969 4.214943
    Unten links KachelX 1000 KachelY + 1 1001 -0.07363108 0.07050463 -4.218750 4.039618
    Unten rechts KachelX + 1 1001 KachelY + 1 1001 -0.07056312 0.07050463 -4.042969 4.039618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07356464-0.07050463) × R
    0.00306001 × 6371000     		dl = 19495.32371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07356464-0.07050463) × R
    0.00306001 × 6371000     		dr = 19495.32371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07056312) × cos(0.07356464) × R
    0.00306796000000001 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 19493.1079862852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07056312) × cos(0.07050463) × R
    0.00306796000000001 × 0.997515577981831 × 6371000     		du = 19497.4127139148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07356464)-sin(0.07050463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.997515577981831)×R²
    abs(-0.07056312--0.07363108)×0.00022023603503063×R²
    0.00306796000000001×0.00022023603503063×6371000²
    0.00306796000000001×0.00022023603503063×40589641000000     		ar = 380066707.903966m²